Kartesische Form, Polarform: Umrechnung

Kartesische Form, Polarform: Umrechnung

Kartesische

Kartesische Form Form → → Polarf Polarf orm: orm: Aufgaben 1-5 Aufgaben 1-5

Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

Die in kartesischer Form gegebenen komplexen Zahlen sind in Polarform umzurechnen

z =  ^{2 }  ^{2 i}

z = − 3  5 i

Aufgabe 5: z = 2 i

Aufgabe 3: z = − 3  ³

2 − 3

2 i

Aufgabe 4: z = 1 − i

Kartesische

Kartesische Form Form → → Polarf Polarf orm: orm: Lösung 1 Lösung 1

z =  ^{2 }  ^{2 i , r = ∣ z ∣ =}  ^{  2 }

^{   2 }

^{=  2  2 = 2}

sin 

= y

r =  ²

2 , 

= 45

= 

4 , 

=   x  0, y  0 

 ^{2 }  ^{2 i = 2 e}

^{= 2} [ ^{cos     i sin   } ]

Abb. 5-1: Zur Bestimmung des Polarwinkels im ersten Quadranten

z = − 3  5 i , r = ∣ z ∣ =  ^{− 3 }

^{ 5}

^{=  34 ≃ 5.831}

sin 

= ∣ y ∣

r = 5

 ^{34 ≃ 0.858 , }

^{= 59.04}

x  0, y  0 ⇒  =  − 

= 180

− 59.04 ≃ 120.96

z = 5.83 e

= 5.83  cos  120.96

  i sin  120.96



Abb. 5-2: Zur Bestimmung des Polarwinkels im zweiten Quadranten

Kartesische

Kartesische Form Form → → Polarf Polarf orm: orm: Lösung 2 Lösung 2

Abb. 5-3a: Zur Bestimmung des Polarwinkels im dritten Quadranten

z = − 3  ³

2 − 3

2 i , r = ∣ z ∣ =  ^{ − 3 2  3 }

^{  − 3 2 }

^{= 3 2  3  1 = 3}

sin 

= ∣ y ∣

r = 1

2 , 

= 30

= 

6 ,  =   

= 7 

6  x  0, y  0 

Kartesische

Kartesische Form Form → → Polarf Polarf orm: orm: Lösung 3 Lösung 3

− 3  ³

2 − 3

2 i = 3 e

7

6

= 3 e

e



6

= − 3 [ ^{cos   6   i sin   6 } ]

e

= cos   i sin  = − 1

Abb. 5-3b: Graphische Darstellung der komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene

Kartesische

Kartesische Form Form → → Polarf Polarf orm: orm: Lösung 3 Lösung 3

Abb. 5-4a: Zur Bestimmung des Polarwinkels im vierten Quadranten

z = 1 − i , r = ∣ z ∣ =  ¹

^{ 1}

^{=  2}

sin 

= ∣ y ∣

r = 1

 ^{2 , }

^{= 45}

^{=  4 ,  = 2  − }

^{ x  0, y  0 }

Kartesische

Kartesische Form Form → → Polarf Polarf orm: orm: Lösung 4 Lösung 4

Abb. 5-4b: Graphische Darstellung der komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene

1 − i =  ^{2 e}

⁼  ^{2 e}

^e

⁼  ² [ ^{cos   4  − i sin   4 } ]

e

= cos  2   i sin  2  = 1

Kartesische

Kartesische Form Form → → Polarf Polarf orm: orm: Lösung 4 Lösung 4

z = 2 i , r = ∣ z ∣ =  ⁰

^{ 2}

^{= 2}

sin  = 2

2 = 1, x = 0, y  0,  = 

2 = 90

, z = 2 e

Abb. 5-5: Graphische Darstellung der komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene

Kartesische

Kartesische Form Form → → Polarf Polarf orm: orm: Lösung 5 Lösung 5

Kartesische

Kartesische Form Form → → Polarf Polarf orm: orm: Aufgaben 6-9 Aufgaben 6-9

Aufgabe 6:

Die in kartesischenr Form gegebenen komplexen Zahlen sind in Polarform umzurechnen

z = − 5  4 i z = 2   ^{7 i}

z = −  ^{3 −}  ^{8 i}

z =  ^{7 − i}

Aufgabe 7:

Aufgabe 8:

Aufgabe 9:

Kartesische

Kartesische Form Form → → Polarf Polarf orm: orm: Lösungen 6-9 Lösungen 6-9

Lösung 6: z = − 5 + 4 i , r = ∣ z ∣ = √ ^{41 , φ ≃ 141.34}

Lösung 7: z = 2 + √ ^{7 i , r = ∣ z ∣ =} √ ^{11 , φ ≃ 52.91}

Lösung 8: z = − √ ^{3 −} √ ^{8 i , r = ∣ z ∣ =} √ ^{11 , φ ≃ − 121.48}

Lösung 9: z = √ ^{7 − i , r = ∣ z ∣ = 2} √ ^{2 , φ ≃ − 20.71}