Umrechnung eines Vektors auf eine neue Basis

Basistransformation

Umrechnung eines Vektors auf eine neue Basis

Ausgangspunkt

Gegeben sei eine Basis{v₁, . . . ,vn}={vi}i=1...ndes linearen VektorraumesV. Mittels desGram-Schmidtschen- Orthogonali- sierungsverfahrens sei eine neue orthonormale Basis{b1, . . . ,bn}={bi}i=1...nerzeugt worden. Die dabei erzeugten Zwischengr¨ossen ˜bi,i= 1. . .n, undαij,i= 1. . .n,j= 1. . .(i−1), seien verf¨ugbar.

Ziel

Es soll eine Formel ermittelt werden, mit deren Hilfe jeder bez¨uglich der Basis {vi}i=1...ngegebene Vektoru_[v]∈ V in eine Darstellungu_[b]bez¨uglich der Basis {bi}i=1...numgewandelt werden kann.

() 27. Januar 2005 1 / 6

Verfahren

Der Ansatz desGram-Schmidtschen-Orthogonalisierungsverfahrens

˜bi=vi+

i−1

X

j=1

αijbj i= 1, . . . ,n

kann nachvi umgestellt werden. Mitbi = ˜bi/k˜bikerh¨alt man vi=kb˜ikbi−

i−1

X

j=1

αijbj i = 1, . . . ,n.

Mit dem ¨Ubergang vonαij zu ˜αij=−αij,i = 1. . .n,j= 1. . .i−1, und durch zus¨atzliche Einf¨uhrung von ˜αii=kb˜ik,i = 1. . .n, folgt

vi= ˜αiibii+

i−1

X

j=1

˜ αijbj =

Xi

j=1

˜

αijbj=vi i= 1, . . . ,n.

Damit hat man eine Darstellung der Basisvektorenvi,i = 1. . .n, als Linearkombination der neuen Basisvektorenbi.

() 27. Januar 2005 2 / 6

Ersetzt man nun die Basisvektorenvi in einem gegebenen Vektor u=u_[v]= (µ1, . . . , µn)^T_[v]=

Xn

i=1

µivi

durch die neue Basis{bi}i=1...nerh¨alt man

u_[v]= Xn

i=1

µivi= Xn

i=1

µi

Xi

j=1

˜ αijbj=

Xn

i=1

µi

Xi

j=1

˜

αijbj=u_[b]

also die gesuchte Formel zur Darstellungu_[b]des Vektorsubez¨uglich der Basis {bi}ⁱ=1...n.

() 27. Januar 2005 3 / 6

Beispiel

Alte Basis (n= 3):

v1= (2,2,0)^T v2= (1,0,2)^T v3= (0,2,1)^T Gegebener Vektor bez¨uglich Basis{vi}i=1...3:

u_[v]= (µ1, µ2, µ3)^T_[v]= (1,−2,¹₂)^T_[v]

Neue Basis ausGram-Schmidt:

b₁= (√¹ 2,√¹

2,0)^T b₂= (^√₆²,−^√6²,^2√₃²)^T b₃= (−²3,²₃,¹₃)^T Koeffizientenαij ausGram-Schmidt:

α21=−^√1₂ α31=−√

2 α32=−^√₃² Neue Koeffizienten

˜

αij=−αij,i= 1. . .n,j= 1. . .i−1, und ˜αii=k˜bik,i= 1. . .n:

˜ α11= 2√

2

˜ α21=√¹

2 α˜22=√³ 2

˜ α31=√

2 α˜32=^√₃² α˜33=⁵₃

() 27. Januar 2005 4 / 6

NunUmrechnungauf neue Basis{b1,b2,b3}:

ub= X3

i=1

µi

Xi

j=1

˜ αijbj

=µ1α˜11b₁+µ1(˜α21b₁+ ˜α22b₂) +µ3(˜α31b₁+ ˜α32b₂+ ˜α32b₃)

= (µ1α˜11+µ2α˜21+µ3α˜31)

| {z }

= 2√ 2−2√¹

2+¹₂√ 2

= 2√ 2−√

2 +^√₂²

b₁+ (µ2α˜22+µ3α˜32)

| {z }

=−2√³

2+¹₂·^√₃²

=−3√ 2 +¹₆√

2

b₂+ µ3α˜33

| {z }

=¹₂·⁵₃ b₃

β1=^3√₂² β2=−¹⁷₆√

2 β3=⁵₆ und damit

u_[v]= (µ1, µ2, µ3)^T_[v]= (1,−2,¹₂)^T_[v] = (^3√₂²,−¹⁷6

√2,⁵₆)^T_[b]=u_[b] = (β1, β2, β3)^T_[b]

() 27. Januar 2005 5 / 6

Probe: Umrechnung in kartesische Koordinaten

u[v]= X3

i=1

µivi= 1



 2 2 0



−2



 1 0 2



+¹₂



 0 2 1



 =





2−2 + 0 2−0 + 1 0−4 +¹₂



 =



 0 3

−₂⁷



=u

u_[b] = P3

i=1βibi=^3√₂²





√1 12

√2

0



−¹⁷₆√ 2





√2 6

−^√₆²

2√ 2 3



+⁵₆





−²3 2 31 3





=





3

2−³⁴₃₆−¹⁰₁₈

3

2+³⁴₃₆+¹⁰₁₈ 0−⁶⁸₁₈−₁₈⁵



=





3 2−²⁷₁₈

3 2+²⁷₁₈ 0−⁶³₁₈



 =





3 2−³₂

3 2+³₂ 0−⁷₂



 =



 0 3

−⁷₂



=u

und damit

u_[v]=u_[b]=u.

() 27. Januar 2005 6 / 6