Ableitung eines Vektors Ableitung eines Vektors

(1)

Ableitung eines Vektors Ableitung eines Vektors

r t  r

r tt y

x P

Q

r t =



^x^y^t^t^^



^, ^{ }^r ^{= }^r ^^t ^{ }^t^{ − }^r ^t^{ =}



^x^y^^^t^t ^{ }^{ }^t^t^{ −}^{ −} ^x^y^^^t^t^^



lim  r

lim r t  t − r t



^x^˙ ^^t^



Der Vektor ∆ r/∆ t geht beim Grenzübergang ∆ t → 0 in den Tangentenvektor über

C

Abb. 2-1: Zum Begriff des Tangentenvektors einer Kurve

(2)

Ableitung eines Vektors Ableitung eines Vektors

r t

y P

x

C

˙

r t

Abb. 2-2: Orts- und Tangentenvektor einer Kurve

d r

dt = d xt

dt i  d yt

dt j ⇔ r˙ t = ˙x t i  ˙yt j Der Tangentenvektor entsteht aus dem Ortsvektor durch komponenten- weise Differentiation nach dem Parameter t und wird als 1. Ableitung des Ortsvektors bezeichnet.

(3)

Ableitung einer Vektorfunktion:

Ableitung einer Vektorfunktion: Aufgabe 1 Aufgabe 1

Bestimmen Sie die erste und zweite Ableitung von folgenden Vektorfunktionen:

a ) r t =



^^v⁰^⋅^^sin^v⁰^⋅^^cos^t ⁻^¹²^t ^{g t}²



^, ^b ⁾^^r ^^t^{ =}



^t^t^t²³



c ) r t =



^0.2^t10^t^cos²



^sin^t^t ^t



^, ^d ⁾^^r ^^t^{ =}

^

⁴^t

^

^cos^t² ^sin^t ^t ^t

^

(4)

Ableitung einer Vektorfunktion:

Ableitung einer Vektorfunktion: Lösung 1 a, b Lösung 1 a, b

a ) r t =



^^v⁰^⋅^^sin^v⁰^⋅^^cos^t ⁻^¹²^t ^{g t}²



vt = d r t

dt =



^v⁰^⋅^v⁰^sin^⋅^cos^{ −}^^{g t}



^, ^^a^^t^{ =} ^d²^dt^^r²^^t^ ⁼

^

^−g⁰

^

b ) r t =



^t^t^t²³



^, ^d ^^r^dt^^t^ ⁼

^

³²¹^t^t²

^

^, ^d²^dt^^r²^^t^ ⁼

^

⁶²⁰^t

^

(5)

d r t

dt =



^0.2^t^cos^^{2 sin}^t ⁻⁵^t^t^^sin^t ^cos^t ^t^



^, ^d²^dt^^r²^^t^ ⁼



^0.2^²⁻⁻^{2 sin}^t²^^sin^t ⁻^t⁵^^t ^cos^0.8^t^t ^cos^t



Ableitung einer Vektorfunktion:

Ableitung einer Vektorfunktion: Lösung 1c Lösung 1c

Abb. 3-1: Graphische Darstellung der Vektorfunktion r (t) im 3D-Raum

(6)

d r t

dt =



^{2 sin}

^

^cos^t ^t ^t^⁻⁴^t

^

^sin^t ^cos^t ^t



^, ^d ^^r^dt^^t^ ⁼



⁻ ^sin^t

^

^t^t^{−2 sin}^ ^{4 cos}

^

^t^t⁻^t ^t⁻^cos⁴

^

^t ^t ^sin ^t



Ableitung einer Vektorfunktion:

Ableitung einer Vektorfunktion: Lösung 1d Lösung 1d

Abb. 3-2: Graphische Darstellung der Vektorfunktion r (t) im 3D-Raum

(7)

Differentiationsregeln für Vektoren Differentiationsregeln für Vektoren

1 ) d

dt a  b  c = d a

dt  d b

dt  d c dt 2 ) d

dt  a = d 

dt a   d a dt

3 ) d

dt a b = d a

dt b  a d b dt

4 ) d

dt a × b = d a

dt × b  a × d b dt

5 ) d

dt a t = d a

d  ⋅ d  dt

2) ist eine skalare Funktion von  t

4) die Faktoren dürfen nicht vertauscht werden

(8)

Ableitung eines Vektors:

Ableitung eines Vektors: Aufgaben 2, 3 Aufgaben 2, 3

Aufgabe 2:

Bestimmen Sie den Tangentenvektor an die Raumkurve

r t =



^t^t^e^⋅^⋅²^cos^sin^t^³^t^t



im Kurvenpunkt P mit dem Parameterwert t = 0.

Bestimmen Sie den Geschwindigkeitsvektor (1. Ablei- tung) und den Beschleunigungsvektor (2. Ableitung) für die schraubenlinienförmige Bahnkurve eines Elekt- rons in einem Magnetfeld.

Aufgabe 3:

(9)

Ableitung eines Vektors:

Ableitung eines Vektors: Lösungen 2, 3 Lösungen 2, 3

Lösung 2:

d r t

dt =



^cos^sin²^t^t^e^⁻²^t^t^^t^cos³^sin ^t^t



^, ^d ^^r ^^dt^t⁼⁰^ ⁼



²¹⁰^e³



Lösung 3:

v t =



⁻^R^R^^ ^cos^sin^c ^^^t^t^^



^, ^^a^^t^{ = −}^R ^²



^cos^sin^^⁰ ^t^t^^

