Ableitung nach Anfangsbedingungen
Das Anfangswertproblem
u0 =f(t,u), u(t0) =a,
l¨asst sich f¨ur stetig differenzierbares f nach (a1, . . . ,an)tpartiell ableiten.
Man erh¨alt die Matrix-Differentialgleichung
ua0 =fu(t,u)ua, ua(t0) =E,
mit der Jacobi-Matrix ua = (∂u/∂a1, . . . , ∂u/∂an) und E der (n×n) Einheitsmatrix.
Durch Taylor-Entwicklung folgt f¨ur die L¨osungv zu einem benachbarten Anfangswertv(t0) =a+ ∆a
v(t) =u(t) +ua(t)∆a+O((∆a)2).
Ableitung nach Anfangsbedingungen 1-1
Beispiel:
Differentialgleichungen f¨ur die Bahnkurve eines antriebslosen Raumschiffs in Polarkoordinaten
r0 = u u0 = v2
r − γ r2 v0 = −uv
r γ: Gravitationskonstante
r: Abstand vom Erdmittelpunkt
u, v: radiale und tangentiale Geschwindigkeitskomponente station¨arer Orbit:
r0 u0 v0
=
0 0 0
=⇒
r u v
=
r0
0 pγ/r0
Ableitung nach Anfangsbedingungen 2-1
St¨orung der Anfangswerte:
pt= (r0,0,p
γ/r0)→p˜t N¨aherung f¨ur die resultierende Bahnkurve
˜ r(t)
˜ u(t)
˜ v(t)
=
r0
0 pγ/r0
+J(t)
∆r(0)
∆u(0)
∆v(0)
| {z }
d(t)
Jacobi-Matrix J bestimmt durch die L¨osung des Anfangswertproblems
J0 =
0 1 0
γ
r03 0 2p
γ/r0
r0
0 −
pγ/r0 r0
0
| {z }
A
J, J(0) =E,
Ableitung nach Anfangsbedingungen 2-2
Berechnung von Adurch Einsetzen der ungest¨orten L¨osung in die Ableitung der rechten Seite:
A=
0 1 0
−vr22 + 2rγ3 0 2vr
uv
r2 −vr −ur
(r,u,v)=(r0,0,√
γ/r0)
(Bei einem station¨aren Orbit h¨angtA nicht vont ab.) Berechnung vond(t) durch L¨osen eines linearen Differentialgleichungssystems mit konstanten Koeffizienten:
d0(t) = J0(t)d(0) = A J(t)d(0) = A d(t), d(0) =
∆r(0)
∆u(0)
∆v(0)
Ableitung nach Anfangsbedingungen 2-3