3. ¨ Ubung zur Mathematischen Programmierung

Prof. Dr. U. Faigle SS 2003 B. Fuchs

3. ¨ Ubung zur Mathematischen Programmierung

Abgabe bis sp¨atestens Freitag, 16. Mai um 12:00 in den Briefkasten vorm ZAIK

Eine Funktion f : Ω → R heißt konvex, falls Ω konvex ist und f¨ur alle x,y ∈ Ω und alle λ∈(0,1):

f(x+λ(y−x))≤f(x) +λ[f(y)−f(x)] (1)

gilt.

Gilt in (1) sogar immer die strikte Ungleichung, so nennen wirf streng konvex.

Aufgabe 1

Zeigen Sie: Eine Funktionf : Ω→Rist genau dann konvex, wenn ihr Epigraph konvex ist.

Aufgabe 2

Geben Sie ein Beispiel f¨ur eine konvexe Funktion an, die ein lokales Maximum hat, das kein globales Maximum ist.

Aufgabe 3

SeiAeine positiv definite Matrix, und seiq(x) = ¹₂x^TAx+b^Tx. Zeigen Sie:

a)q(x)ist konvex.

b)x^∗ =−A⁻¹bist das eindeutige Minimum vonq(x).

Aufgabe 4

Definiere f¨urx,y∈Rⁿ: x>y ⇐⇒ ∀1≤i≤n : x_i > y_i. Zuµ > 0undp∈Rⁿmitp>0definieren wir die Funktion

f(x) = p^Tx−µ

n

X

i=1

lnx_i.

Zeigen Sie:f(x)ist streng konvex auf{x∈ Rⁿ |x> 0}, undx^∗ = (µ/p1, . . . , µ/pn)^T ist das eindeutige Minimum vonf(x).

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