Auf
gabe Funktion Inhalt der Aufgabe
82/1 Fr . . X3 , ^
t( x) = Y- t x2 + - x ; x E IR ; t + 0
a) Kurvenuntersuchung von Kt; H, T, W;
Wendetangente; K3
b) Kurve C aller Wendepunkte;
Orthogonaler Schnitt von C mit K, c) Parabel 2. Ordnung; Schnittproblem;
Flächeninhalt; Flächenverhältnis
d) K' r tl und K, berühren sich in O : Weitere l2 Schnittpunkte?
82/2 ^ 4 4t
x + 0; t > 0 K: y = - ; x + 0
' X
a) Kurvenuntersuchung von Ct; As; H , T , W; Kurve C, und K b) Minimaler Rechtecksumfang c) Flächeninhalt zwischen Ct und
K gibt At(u); u -* oo
d) Lösungsmenge einer Ungleichung, die hergeleitet werden muß.
82/3 f,(x) = t —te~x; x e IR; t > 0
a) Kurvenuntersuchung von Kt; H, T, W; As; Kt
b) Fläche At(u) zwischen Kt und As;
u-*oo; Flächenhalbierung
c) Ortskurve für die Punkte mit der Kur
vensteigung 1
d) Extremaler Rechtecksinhalt mit Nach
weis;
Wann ein Quadrat?
82/3 S ft(x) = t — t sin x;
gt( x ) = - t c o s x ;
— n : S x ö j r ; t > 0
a) Flächeninhalt zwischen zwei Kurven für t = 1 und allgemeines t > 0 b) Normale; Nachweis: Ein Punkt liegt
oberhalb von y = 2 / x c) Identische Normalen;
Flächeninhalt zwischen zwei Normalen
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gabe
83/1 ft(x) = 2 - — 3tx2 + 9tx;
x e IR; t > 0
a) Kurvenuntersuchung von Kt;
Wendetangente; Gemeinsamer Punkt der W endetangenten
b) Flächeninhalt von Kt über der x-Achse zwischen den Nullstellen
c) Dreieck maximalen Inhalts
d) Dreieck soll gleichschenklig sein: t = ? 83/2 r. . 2X2 + 4X
fW = ( x + l )2 ;
X + - 1
a) Kurvenuntersuchung von K;
As; H, T, W; Schaubild von K
b) Ganzrationale Näherungskurve 3. Grades;
Flächeninhalt mit ihr
c) Integration durch Substitution;
Prozentualer Unterschied 83/3 f(t) = 3 - e" °'5t; t e IR a) As; Lineare Ersatzfunktion g;
Schaubild von f und g b) Extremwert von g(t) — f(t)
c) Anwendung von g auf Insektenpopulation d) Vergleich mit exponentieller Populations
veränderung 83/3 S a — a sin x für
3tt _ - y S x < 0;
fa(x) = - a + a sin x für O S x S - ; a > 0
V
a) K2; Wendepunkte von Ka
b) Gemeinsamer Punkt der Wendetangenten c) Schnittpunkt von Normalen;
Extremaler Inhalt einer Fläche
d) Stetigkeit bei abschnittsweise definierter Funktion;
Inhalt mit der abschnittsweise definierten Funktion
84/1 Aufstellen einer ganz
rationalen Funktions
schar 3. Grades
a) Bestimmen der Koeffizienten a, b, c, d aus 4 Bedingungen oder mit dem Pro
blem angepaßtem Ansatz für einen Koef
fizienten
b) Kurvenuntersuchung von Kt; H, T, W ; K3; Ort der Wendepunkte der Kt
c) Flächeninhalt über der x-Achse;
Normale durch O ;
Wie teilt die Normale die Fläche?
d) Darstellung einer ganzrationalen Funktion mit Hilfe ihrer Ableitungen in 0.
84/2
ft(X)=V + 3t2 ;
x e IR; t > 0
a) Symmetrie von Kt; Kurvenuntersuchung;
H, T, W; As;K3 b) Ort der Wendepunkte;
Nachweis eines rechtwinkligen Dreiecks c) Maximaler Inhalt eines Rechtecks;
Wann ist es ein Quadrat?
d) Lösungsmenge von — > f27 3(x)
84/3 f(t) = e8-e_t; t G IR g(t) = e4-el; t e IR Beschreiben zweier Bakterienkulturen
a) Vergleich von f(t) und g(t) zu verschie
denen Zeiten
b) Lineare Ersatzfunktion von f für t > 4 c) Mittelwert der Bakterienzahl für ein Zeit
intervall
d) Vergleich dieser Mittelwerte bei den zwei Kulturen
84/3 S f (x) = — | x + n — sin x;
x e [0; 2 7t]
a) Kurvenuntersuchung von K; H , T, W;
Tangenten in x = 0 und x = 2 n b) Ganzrationale Näherungsfunktion g
vom 3. Grad; Differenz f—g
c) C: y = ax + b + cos x und K sollen sich in P (ti ^ j orthogonal schneiden
d) Normale zerlegt Fläche: Inhalte der Teil
flächen?
gabe
85/1 fiv / 8 2 t( x ) = — — tx + - t2 2; x e IR; t > 0
a) Kurvenuntersuchung Kt; Symmetrie;
H , T , ¥ ; K ,
b) Ort C der Tiefpunkte;
Flächeninhalt unter der x-Achse c) Parabel durch W von Kt;
Rotation um x-Achse: Rauminhalt d) Nachweis: K, und Parabel Pt schneiden
sich in 4 Punkten 85/2 r. . 4x + 5 .
f(x) =x2 _ j ; x + ± 1 a) Kurvenuntersuchung; H, T; As;
Zeichne K
b) Rechteck mit Punkt auf K; Flächeninhalt Extremwertuntersuchung
c) 4 wird durch t > 0 ersetzt; Gemeinsame Punkt S aller Kt; Weiterer Schnittpunkt 1
von Tangente in S mit K 85/3 fa(x) = eax;
x e IR, a + 0
a) Gemeinsamer Punkt aller Ka; Steigung der Tangente in ihm b) Orthogonaler Schnitt;
minimaler Dreiecksinhalt
c) Flächeninhalt bei wechselnder Rand
kurve; Grenzwert für u->-oo
d) Anwendung auf Bakterienkultur: Wann Verdoppelung?
85/3 S ft(x) = x'+tsinx;
x e [0; 2tt]; t > 0
a) H , T , W vonK, und K2
b) Flächeninhalt; Halbierung der Fläche c) Flächenzerlegung durch Tangenten 86/1 ft(x)=^x3 +2x2 + t x ;
x e IR; t > 0
a) Kurvenuntersuchung von Kt; H, T, W ; Zeichne K3
b) Ort C der Wendepunkte;
Orthogonaler Schnitt von C mit Kt c) Normale durch O ;
Rauminhalt eines Doppelkegels d) Fläche zwischen K und K im 3. Feld > ti t2
86/2
f ( x ) = x2 + 2; X £ l R
a) Kurvenuntersuchung; Symmetrie; As;
H, T, W; Schaubild K b) Tangentenparallelogramm;
Inhalt des Parallelogramms c) Näherungsparabel;
Näherungsflächeninhalt A
d) Schnittpunktsuntersuchung von K mit Ursprungsgeraden y = tx
86/3 f(x) = e -x + e~x; x e IR a) Kurvenuntersuchung; H, T, W; As;
Schaubild K
b) Flächeninhalt zwischen K und As c) Dreiecksinhalt soll extremal werden,
Ecken auf K und As
d) Näherungsfunktion 2. Grades. Flächen
inhaltsvergleich in %.
87/1 f,(x) = t(x —x2); x e IR;
Schaubild Ct; gt(x) = (t + i ) x3
- K ) * + tx ; Schaubild Kt
a) Kurvenuntersuchung von Ct; Aufstellen der Funktion gt; Schaubilder Ct und K j b) Flächeninhalt A(t) zwischen Ct und Kt;
Extremum von A(t); Art des Extremums c) Schnittpunkte von Kt mit x — A soll
Wendepunkt sein: t = ?
87/2
f ( * ) = f + £ ; x + 0
g(x H + i ; x+0
r / \ t + 1 , _
ft(x) = tx + — - ; x + 0
a) Kurvenuntersuchung; Symmetrie; As;
H, T, W; Schaubild von f
b) Minimaler Umfang eines Rechtecks mit Ecke auf Kurve K von f
c) Zeige: C von g verläuft zwischen K von f und der Asymptote; Flächeninhalt zwi
schen C und As
d) Kt von ft soll zwei waagrechte Tangenten haben: t = ?; Lösen einer Ungleichung
gabe
87/3 f(x)=x-e2~x; x e IR, a) Kurvenuntersuchung; H, T, W; Schau
Schaubild K ; bild K
Stammfunktion; b) Stammfunktion: Zeige F'(x)=f(x);
F(x) = (—x — 1) e2 _ x Flächenberechnung
c) f(x) — f'(x) soll extremal werden d) B(u | v) liegt auf K. Für welche u geht
die Tangente in B durch T(—210) ?
