E F die Fermi-Energie sei mit:

7 Übungsblatt Festkörperphysik

7.1 (Kinetische Energie des freien Elektronengases)

Es ist zu zeigen, dass diekinetische Energie des freien Elektronengases (in drei Dimen-

sionen)bei

T = 0 K

^{gegeben istdurch:}

U ₀ = 3 5 N E _F ,

wobei

E F

^{die F}ermi-Energie sei mit:

E _F = ~ ² 2m

3π ² N V

² ₃

und

N

^{die Anzahl der freien} Elektronen. Für die kinetische Energie des freien Elek- tronengases folgtnun:

U ₀ = h E i = Z E F

0

E · D (E) dE,

wobei

D (E) = ^dN _dE = _2π ^V 2 2m

~ ²

³ ₂ √

E

^die Zustandsdichte ist, mit der Anzahl der Zu-

stände

N (E) = _3π ^V 2 2mE

~ ²

³ ₂

.

^{Wirkönnen einsetzen:}

U ₀ = Z E F

0

V 2π ²

2m

~ ^{2 3} ₂

E ^{3 2} dE = V 2π ²

2m

~ ²

³ ₂ Z E F

0

E ^{3 2} dE = V 2π ²

2m

~ ^{2 3} ₂

2 5 E ^{5 2}

E F

0

,

Wirkönnen nun

N (E F )

^{einsetzen underhalten:}

U ₀ = 3 2

V 3π ²

2mE _F

~ ^{2 3} ₂

| {z }

N (E F )

2

5 E _F = 3

5 N (E _F ) E _F = 3 5 N E _F .

Dieswar zu zeigen.

7.2 (Freies Elektronengas von Lithium und Blei)

Es sind die Daten über die Dichten und die molaren Massen der Atome von Lithium

und Blei bekannt. Aus diesen sind die Dichte der freien Elektronen und verschiedene

Fermi-Gröÿen zubestimmen.Wirbestimmenzuerst dieDichteder freienElektronen für

dasLithium undanschlieÿend fürdas Blei.

Es giltfürdieDichtedesgesamtenAtoms

ρ = ^m _V = ^M _V ^{· N} = M · ^N V = M · n,

^mit

M

^der

molaren Masse,

V

^{dem Volumen,}

N

^{der T}eilchenanzahl und

n

^derTeilchendichte. Wir können umstellenund einsetzen:

n = ρ

M = 1 · 0.53 _cm ^g 3

6.939 _mol ^g = 0.0764 _cm ^mol 3

^.

Nun können wir noch mit der Avogadrokonstante multiplizieren, wobei diese

N _A = 6.022 · 10 ²³ _mol ¹

^beträgt:

n = 0.0764 · 6.022 · 10 ²³ _mol ¹ mol

cm ³ = 4.60 · 10 ²² _cm ¹ 3 ,

dawirnureinfreiesElektron(Valenzelektron)fürdasLithiumbesitzen

1s ² 2s ¹

-Konguration, müssen wirmit

1

multiplizieren underhaltenfür dieElektronendichte:

n = 4.60 · 10 ²² _cm ¹ 3 .

Für den Literaturwert ndet sich auf Folie FKP_V14.pdf ein Wert von

n = 4.7 · 10 ²² _cm ¹ 3 ,

^{diesresultiertdaher, dassindergegebenenTabelle andersgerundet wurde,da}

derLiteraturwert für dieDichte von Lithium mit

ρ = 0.535 _cm ^g 3

^{gefunden werden kann.}

FürRechnung mitdemgerundeten Wert

ρ = 0.54 _cm ^g 3

^{ergibtsichauch durchrundendes}

Ergebnissesvon

n = 4.69 · 10 ²² _cm ¹ 3

^dergefundeneLiteraturwert.

Beim Blei besitzen wireine Elektronenkonguration von [Xe] 6

s ²

⁶

p ²

^{,besitzen also}

4

freieElektronen,dahermüssenwirdenWertvon

n,

^{der sichaufdieAtomanzahlbezieht,}

mit

4

multiplizieren,umdiefreienElektronenzuerfassen.EinsetzendergegebenenWerte für Bleiund multiplikationmit demFaktor

4

^liefert:

n = 4 · 11.34 _cm ^g 3

207.19 _mol ^g = 0.219 _cm ^mol 3 = 13.18 · 10 ²² _cm ¹ 3 = 13.2 · 10 ²² _cm ¹ 3 .

Dieser Wertstimmt mit demLiteraturwertüberein.

Zur Bestimmung derFermi-Gröÿen können wirnun

N

V = n

^{einsetzen,somitgelten für}

dieFermi-Gröÿen dieBeziehungen:

k F = 3π ² n ¹ 3

E _F = ~ ² k ² _F 2m v _F = ~ k _F

m T _F = E _F k B

.

Einsetzen derWerte liefert:

k F,Li = 1.108 · 10 ⁸ 1 cm

E _F,Li = 7.50 · 10 ^{− 19} J = 4.68 eV v _F,Li = 1.28 · 10 ⁸ cm

s

T _F,Li = 5.43 · 10 ⁴ K

Werten inderLiteratur-Tabelle überein.

Für dasBleifolgenmit

n = 13.18 · 10 ²² _cm ¹ 3 ,

^dieFermi-Gröÿen mit:

k F = 1.574 · 10 ⁸ 1 cm

E _F = 1.513 · 10 ⁻¹⁸ J = 9.45 eV v _F = 1.823 · 10 ⁸ cm

s T F = 1.096 · 10 ⁵ K.

Auch diese Werte stimmen mitden Werten derLiteratur überein.

7.3 (Freie Elektronen im quadratischen und im kubischen Gitter)

(a)

Wie wir in folgender Zeichnung erkennen, beträgt

k x,s = ¹ ₂ , k y,s = 0

^während

k x,e =

1

2 , k _y,e = ¹ ₂

^beträgt.

x y

Quadratgitter in 2D

k _e k _s

Nun gilt jedoch für diekinetische Energie:

T = ~ ² 2m

X

k

k ² C (k) e ^ikx ,

für uns ist indiesem Fall nur dasVerhältnis wichtig. Wir erhaltendurch dieSumme

imFallderSeitenmitte:

T _s = 1 4 · ~ ²

2m C 1

2

e ^{2 i x} ,

und für dieEckeder Brillouinzone erhaltenwir:

T _e = 2 · 1 4 · ~ ²

2m C 1

2

e ^{2 i x} .

Der Vergleich derbeiden Gröÿen liefertalso sofort:

T _e = 2 T _s .

FürdendreidimensionalenFall,folgtfürdenMittelpunktderSeitenäche

k _x,s = 0, k _y,s =

1

2 , k _z,s = 0,

^{während für den Eckpunkt}

k _x,s = ¹ ₂ , k _y,s = ¹ ₂ , k _z,s = ¹ ₂ ,

^{folgt. Somit folgt}

alsofür die kinetische Energie einVerhältnis von:

T e = 3 T s .

7.4 (Zustandsdichte eines freien Elektronengases in einer Dimension)

DerQuantendrahtbesitzedieRandbedingungen

ψ (x, y, z) = 0

^für

| x | > a

^und

| y | > b,

^wo

a

^und

b

^atomareDimensionen haben,sowieperiodische in

z

^-Richtung

: ψ (x, y, z + L) = ψ (x, y, z) .

^{Diesbedeutet,wirbesitzeneinensehrdünnenDraht,derin}

z

^{-Richtung liegt,}

wobeidie Ausdehnung in

x

^{- und}

y

^{-Richtung atomareDimension besitzt, d.h.sehr klein}

ist,speziell gegenüber der

z

^-Richtung

.

(a)

Es ist zu zeigen, dass die Energie in ein-dimensionale Subbänder aufspaltet, d.h.

E (k)

geschrieben werdenkann als:

E (k) = E _n1,n2 + ~ ² 2m k ² .

WirbetrachtendieSchrödinger Gleichung:

− ~ ² 2m

∂ ²

∂x ² + ∂ ²

∂y ² + ∂ ²

∂z ²

ψ (~ r) = Eψ (~ r) .

Wirmachenden Ansatz:

ψ (~ r) = A sin πn ₁ x a

sin πn ₂ y b

sin πn ₃ z L

= A sin πn ₁ x a

sin πn ₂ y b

exp (ik z z) ,

dawirfürdie

z

-Komponente eineperiodischeRandbedingungbesitzen, mussdieWel- lenfunktion

ψ (x, y, z) = ψ (x, y, z + L)

^{erfüllen,währendwirfürdie}

x −

^und

y

-Komponente dieRandbedingungen:

ψ ( | a | , y, z) = 0

^und

ψ (x, | b | , z) = 0

besitzen. Wirerhaltensomitdurch einsetzen indieSchrödingergleichung:

− ~ ² 2m

− πn ₁ a

2

− πn ₂ b

2

− k ² _z

= E,

somit erhaltenwiralso tatsächlich diezwei1D-Subbänder:

E _n1 = ~ ² 2m

πn ₁ a

2

und

E _n2 = ~ ² 2m

πn ₂ b

2

,

E _n1,n2 = ~ ² 2m

πn ₁ a

2

+ πn ₂ b

2 .

Dadie

x −

^und

y

-Komponenten sehrklein gegenüber der

z

-Komponentesind, können wir

k z = k

^{setzen undsomit erhaltenwirdasgesuchteErgebnis:}

E (k) = E _n1,n2 + ~ ² 2m k ² .

(b)

Es istzu zeigen, dassdieZustandsdichte gemäÿderFormel:

D (E) = dN dk

dk

dE = D (k) dE

dk −1

,

durch:

D (E) = 2L π

m

2 ~ ² (E − E _n1,n2 ) ¹ ₂

,

dargestellt werden kann. Wir können zuerst die Ableitung von k in

E

^{-Richtung be-}

stimmen,wobei wirausAufgabenteil a)nach

k

^{umstellen können:}

k = 2m

~ ^{2 1} ₂

(E (k) − E _n1,n2 ) ^{1 2}

Die Ableitungliefert nun:

dk dE =

2m

~ ^{2 1} ₂

1

2 · (E (k) − E _n1,n2 ) ⁻

1

2 =

m

2 ~ ² (E − E _n1,n2 ) ¹ ₂

,

Nun müssen wir nur noch

D (k)

^{bestimmen, wobei wir uns die} Zustandsdichte des Quantendrahtesalsein-dimensionalvorstellenkönnen,somitfolgtfürdenQuantendraht:

D (k _z ) = L 2π .

Nun müssenwirjedochbeachten, dasswirnochzusätzlichdiediskretenEnergieeigen-

werteinder

xy

^{-Ebene besitzen, wobeiwirhierdurch jeweilseinen Faktor}

2

^erhalten,der

ausdemSpinresultiert,somit insgesamt einenFaktor

4.

^{Somit erhalten wiralso:}

D (k) = 4 L 2π = 2L

π .

Wirerhalten alsodurch EinsetzendasgewünschteErgebnis:

D (E) = 2L π

m

2 ~ ² (E − E _n1,n2 ) ¹ ₂

.