Hinweise zu den Übungen:

Klassische Elektrodynamik - Theoretische Physik II (WS 2015/2016) Vorlesung: Prof. Dr. J. Tjus

Übung: Dr. B. Eichmann

Hausaufgaben 0 Ausgabe: [20.10.2015]; Abgabe: [27.10.2015]

Hinweise zu den Übungen:

1. Zur Teilnahme ist eine Anmeldung im Campus bis Samstag, 31.10.2015 12:00 Uhr erforderlich.

2. Aktuelle Informationen zur Vorlesung sowie den Übungen nden Sie unter:

http://www.pat.rub.de/lectures/ws15_te/

3. Bearbeitungszeitraum der Hausaufgaben: 1 Woche.

4. Abgabe des Übungszettels in der Vorlesung oder im Briefkasten im Norden von NB 7.

5. Jede Teilaufgaben auf einem eigens dafür vorgesehenen Blatt bearbeiten, welches mit Name(n) und Übungsgruppe versehen ist. Bei mehreren Blättern pro Teilaufgabe, diese bitte zusammentackern.

6. Die Übungen zur Vorlesung sind am:

• Mo. von 8:30 bis 10:00 Uhr in Raum NB 6/73 (Gruppe I),

• Di. von 12:15 bis 13:45 Uhr in Raum NB 5/99 (Gruppe II),

• Mo. von 14:15 bis 15:45 Uhr in Raum NB 6/73 (Gruppe III),

• Di. von 12:15 bis 13:45 Uhr in Raum NB 2/158 (Gruppe IV).

7. Anwesenheitsübung (Bearbeitung der Anwesenheitsaufgaben + Fragen) am 26.10. (bzw.

27.10.), dann alle 2 Wochen.

8. Präsentationsübung (Besprechung und Präsentation der Hausaufgaben) am 02.11. (bzw.

03.11.), dann alle 2 Wochen.

9. Hauptkriterium zur Teilnahme an der abschlieÿenden mündlichen Prüfung: Mind. 50%

der Punkte für die Hausaufgaben.

Aufgabe 0.1: Gradient, Divergenz und Rotation (15 Punkte)

Wie bereits in der Theoretischen Mechanik ist auch in der Elektrodynamik ein geübter Umgang mit dem Nabla-Operator ∇ und dem Lablace-Operators ∆ = ∇ · ∇ unentbehrlich.

Daher soll (unter Verwendung der Produktregel!) folgendes gezeigt werden:

a.) Für jedes wenigstens zweimal dierenzierbare Feld f (r), mit r = |~ r| gilt, dass

∆f = f

(r) + 2

r f

(r) .

b.) Für ein Zentralfeld A(~ ~ r) = f(r) ~ r, mit f(r) dierenzierbar, sonst beliebig, ist div ~ A(~ r) = 3f (r) + f

(r) r ,

rot ~ A(~ r) = 0.

c.) Für das Wirbelfeld A(~ ~ r) = ~b × ~ r , mit dem konstanten Vektor ~b , ist div ~ A(~ r) = 0 ,

rot ~ A(~ r) = 2~b .

d.) Das Wirbelfeld A(~ ~ r) = f (r)~b×~ r, mit f (r) dierenzierbar, sonst beliebig, ist divergenzfrei.

e.) Zeigen Sie, dass der Gradient eines skalaren Feldes f (x, y, z) in den krummlinigen Koor- dinaten (u, v, w) dargestellt wird durch

∇ f(u, v, w) = 1 h

∂f

∂u ~ e

+ 1 h

∂f

∂v ~ e

+ 1 h

∂f

∂w ~ e

, mit h

≡ |∂~ r/∂i| und den Basisvektoren ~ e

= (∂~ r/∂i)/h

.

(Hinweis: Bestimmen Sie zunächst das totale Dierential d ~ r in krummlinigen Koordinaten und verwenden Sie anschlieÿend, dass das totale Dierential des skalaren Feldes sich schreiben lässt als d f = ∇f · d r .)

Aufgabe 0.2: Flächenintegrale (15 Punkte)

Flächen im dreidimensionalen Raum lassen sich im Allgemeinen mit zwei Parametern u und v darstellen gemäÿ φ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) ~ . Das zugehörige vektorielle Oberächen- element ist dann gegeben durch d ~ σ =

×

d u d v .

1.) Gegeben sei ein Zylinder mit der Höhe h und dem Radius R im dreidimensionalen Raum.

(a) Parametrisieren Sie den Zylindermantel und geben Sie das zugehörige skalare Ober- ächenelement an. Berechnen Sie damit anschlieÿend die Oberäche des Zylinder- mantels.

2.) Gegeben sei ein Rechteck im dreidimensionalen Raum mit den Eckpunkten (b, a/ √ 2, 0) , (0, a/ √

2, 0) , (0, 0, a/ √

2) , (b, 0, a/ √ 2) .

(a) Skizzieren Sie die Lage des Rechtecks im Raum und berechnen Sie das vektorielle Flächenelement d ~ F sowie die Gesamtäche F = | F ~ | durch Integration.

(b) Bestimmen Sie den Fluss des Feldes ~a(~ r) = (y

, 2xy, 3z

− x

) durch die Fläche F ~

des Rechtecks.