Heilbronn, den 12.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Mathematik 3
Blatt 3
Zu bearbeiten bis 19.10.2021
Name: Matrikelnr.:
Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.
• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.
• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.
Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).
Aufgabe 1. Vereinfachen Sie den Term δ(t−1)
Z t
0
eudu
so weit wie möglich.
Aufgabe 2. Skizzieren Sie die Funktion
f(t) =σ(t) cos(t) und die Funktionen
g(t) = f(t−2π) h(t) = f(t)−g(t).
Berechnen Sie dann die Laplace Transformierte vonh(t).
Aufgabe 3. Sei
f(t) =
∞
X
k=0
δ(t−k)
ein Impulszug. Berechnen Sie die Laplace Transformierte F(s) von f(t) und vereinfachen Sie diese so weit wie möglich. Hinweis. Für|a|<1 lässt sich die Summe
S =
∞
X
k=0
ak
1
wie folgt in geschlossener Form berechnen. Umformen ergibt
aS = a
∞
X
k=0
ak
=
∞
X
k=0
ak+1
= a1+a2+a3+. . .
=
∞
X
k=1
ak.
Damit ist
S−aS =
∞
X
k=0
ak−
∞
X
k=1
ak
= a0
= 1 S(1−a) = 1
S = 1
1−a.
Aufgabe 4. Berechnen Sie die Laplace TransformierteF(s) von f(t) = σ(t)2t.
Geben Sie auch an, für welche Werte vonsdie FunktionF(s) definiert ist.
Aufgabe 5. Berechnen Sie die Laplace Transformierte von f(t) = σ(t) cos(at+b).
Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit, dass keine komplexene-Funktionen darin auftreten.
Aufgabe 6. Transformieren Sie die Funktion F(s) = s2+ 1
(s+ 1)3 in den Zeitbereich.
Aufgabe 7. Lineare DGL n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten kann man mit Hilfe der Laplace Transformation lösen.
Gegeben sei das Anfangswertproblem
f0(t)−2f(t) = t−1, f(0−) = 1.
Die meisten Standardfunktionen wie z.B. cos(t) haben keine Laplace Trans- formierte, sofern sie nicht mitσ(t) multipliziert werden. Aus diesem Grund wird die DGL im ersten Schritt auf beiden Seiten mitσ(t) multipliziert.
2
σ(t)f0(t)−2σ(t)f(t) = σ(t)t−σ(t).
Man hat eine Gleichung von Funktionen. Werden die Funktionen auf bei- den Seiten Laplace Transformiert, erhält man wiederum eine Gleichung.
Sei
σ(t)f(t) c s F(s).
Dann ist
σ(t)f0(t) c s sF(s)−f(0−)
= sF(s)−1.
Weiterhin ist
σ(t) c s 1 s σ(t)t c s 1
s2
Unter Verwendung der Linearität der Laplace Transformation erhält man somit die Gleichung im Bildbereich
sF(s)−1−2F(s) = 1 s2 −1
s.
Der entscheidende Punkt ist, dass in dieser Gleichung keine Ableitung mehr auftritt und man somit einfach nachF(s) auflösen kann.
F(s)(s−2) = 1 +1−s s2
F(s) = 1
s−2+ 1−s s2(s−2) Da
σ(t)f(t) c s F(s)
erhält manσ(t)f(t) durch Rücktransformation. Für den ersten Summand erhält man
1
s−2 s c σ(t)e2t.
Für die Rücktransformation des zweiten Summanden benötigt man Par- tialbruchzerlegung.
1−s
s2(s−2) = c1 s +c2
s2 + c3 s−2
1−s = c1s(s−2) +c2(s−2) +c3s2 Spezialfalls= 2 liefert−1 = 4c3 bzw.c3=−1/4.
Spezialfalls= 0 liefert 1 =−2c2 bzw.c2=−1/2.
3
Spezialfalls= 1 liefert 0 =−c1−c2+c3 bzw.c1=−c2+c3=1/4. Damit ist
1−s s2(s−2) =
1/4
s −
1/2
s2 −
1/4
s−2 s c σ(t)(1/4−1/2t−1/4e2t) und somit
σ(t)f(t) = σ(t)(1/4−1/2t+3/4e2t).
Fürt≥0 ist σ(t) = 1 und damit
f(t) = 1/4−1/2t+3/4e2t.
Für t < 0 sind beide Seiten der Gleichung Null und man erhält keine Aussage überf(t). Die Lösungsfunktion f(t) kann mit der Methode der Laplace Transformation somit nur fürt≥0 bestimmt werden.
Berechnen Sie auf gleiche Weise die Lösung der DGL f0(t) +f(t) = e−t, f(0−) = 0.
Beim Lösungsverfahren mit demeλt Ansatz würde hier Resonanz auftre- ten. Entsprechend ist auch bei der Methode mit Laplacetransformation ein Spezialfall zu erwarten.
Aufgabe 8. Berechnen Sie die allgemeine Lösung der DGL f0(t)−f(t) = tcos(t) fürt≥0.
Hinweis: Berechnen Sie zunächst die allgemeine homogene Lösung mit dem eλt Ansatz. Eine partikuläre inhomogene Lösung liefert die Laplace Transformation wenn man z.B. den Startwertf(0−) = 0 wählt.
Aufgabe 9. Berechnen Sie die Lösung der DGL f00(t)−f(t) = δ(t) +σ(t) mit den Anfangswertenf(0−) =f0(0−) = 0 fürt≥0.
Aufgabe 10. Lösen Sie die DGL
f0(t) +f(t) = t, f(0−) = 0
einmal im Zeitbereich und einmal mit Laplace Transformation. Verglei- chen Sie das Ergebnis.
Pflichtaufgabe.
• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?
• Was fanden Sie besonders schwierig?
• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?
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