Heilbronn, den 19.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Mathematik 3
Blatt 4
Zu bearbeiten bis 26.10.2021
Name: Matrikelnr.:
Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.
• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.
• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.
Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).
Aufgabe 1. Sei
[S(f)] (t) = f(t2).
Ist S linear? Schreiben Sie zunächst sauber auf, was Sie zeigen müssen und begründen Sie dann Ihre Antwort.
Aufgabe 2. Die Eingangsfunktionf und Ausgangsfunktionheines SystemsS hängen durch folgende DGL zusammen:
h0(t) + 3h(t) = f(t).
Damit die Lösungh(t) der DGL eindeutig ist, wird der Startwert h(−∞) = 0
festgelegt.
• Sei S(f1) =h1undS(f2) =h2. Zeigen Sie, dass dann S(f1+f2) = h1+h2.
• Sei S(f) =hunda∈R. Zeigen Sie, dass dann S(af) = ah.
• Sei S(f) =hund ˆt∈R. Zeigen Sie, dass dann S(ftˆ) = hˆt.
• Berechnen Sie die Impulsantwort des Systems. Sie müssen hierzu die DGL durch Variation der Konstanten lösen und dabei die Ausblend- eigenschaft nutzen. Damit die Lösung eindeutig wird, müssen Sie die Randbedingungh(−∞) = 0 einsetzen.
1
Aufgabe 3. SeiS ein LTI System. Zeigen Sie, dass dann S(f0) = [S(f)]0.
Die Ableitung des Eingangssignals eines LTI Systems bewirkt daher immer die Ableitung des Ausgangssignals. Sie dürfen hierbei voraussetzen, dass f undS(f) differenzierbar sind.
Lösen Sie die Aufgabe auf zwei Weisen:
• Indem Sie die Rechengesetze der Faltung nutzen.
• Auf dem anderen Weg brauchen Sie die Definition der Ableitung:
f0(t) = f(t+dt)−f(t)
dt .
Mit der Abkürzung
fˆt(t) = f(t−ˆt) gilt somit
f0(t) = f−dt(t)−f(t)
dt für allet bzw. kürzer
f0 = f−dt−f dt .
In dieser Darstellung können Sie die Linearität und Zeitinvarianz von S anwenden.
Aufgabe 4. Berechnen Sie die Laplace Transformierte von f(t) = σ(t−1)(t−1)et.
Aufgabe 5. Berechnen Sie die Laplace Transformierte von f(t) = σ(t−1) sin(t−1) und von
f(t) = σ(t) sin(t−1).
Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich. Hinweis: Bei der zwei- ten Transformation müssen Sie die Sinus Funktion durch komplexe e- Funktionen darstellen und das Laplace Integral berechnen.
Aufgabe 6. Berechnen Sie die inverse Laplace Transformierte von F(s) = 3 +s
e2s(s2−1).
2
Aufgabe 7. Berechnen Sie die inverse Laplace Transformierte von F(s) =1
s + 2
s2+ 1 s2+ 2s+ 1. Aufgabe 8. Berechnen Sie eine Funktionf(t) so dass
f0(t)−2f(t) = σ(t) für allet∈R.
Aufgabe 9. Lösen Sie das Anfangswertproblem
f(t) +f0(t) = σ(t−1), f(0−) = 0
fürt≥0. Prüfen Sie Ihr Ergebnis indem Sie die Lösungsfunktionf(t) in die DGL einsetzen. Achten Sie darauf, dass Sie die Faktoren σ(t) nicht vergessen.
Aufgabe 10. Lösen Sie das Anfangswertproblem
f0(t) + 3f(t) = sin(2t), f(0−) = 1 fürt≥0 durch Laplace Transformation.
Aufgabe 11. In einem System bestehe folgender Zusammenhang zwischen Eingangsfunktionf(t) und Ausgangsfunktionh(t):
f0(t) +f(t) = h0(t)−h(t).
Berechnen Sie die Übertragungsfunktion
G(s) = H(s) F(s) und die Impulsantwortg(t) des Systems.
Aufgabe 12. Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems f0(t) +f(t) = et, f(0) = 2
für t ≥ 0 einmal mit Laplace Transformation und einmal mit der eλt- Methode und einem Ansatz für die Störfunktion.
Hinweis: Die Lösungsfunktion dieser DGL ist überall stetig, d.h. es gilt insbesonderef(0−) =f(0).
Aufgabe 13. An einer idealen Feder mit FederkonstanteD und Ruhleänge ` ist ein Massestückmbefestigt. Seix1(t) die Position des Federanfangs und x2(t)+`die Position des Federendes mit dem Massestück. Die Ausdehnung der Feder aus der Ruhelage ist somitx2(t)−x1(t). Dieses System ist linear und zeitinvariant mit Eingangsgrößex1 und Ausgangsgröße x2.
3
• Berechne Sie die Übertragungsfunktion und die Impulsantwort dieses Systems. Sie dürfen hierbei annehmen, dass sich das System zum Zeitpunkt t= 0 wenn der Impuls kommt, in Ruhe befindet, d.h.
x2(0) =x02(0) = 0.
• Das System wird nun mit einer Schwingung angeregt, d.h. x1(t) ist eine harmonische Schwingung mit Kreisfrequenz ω. Da das System linear und zeitinvariant ist, schwingt auch das Massestück mit Kreis- frequenzω. In welchem Frequenzbereich ist der Betrag der Amplitude von x2 größer als der vonx1?
• Hat das System Hochpass- oder Tiefpasscharakter?
x1(t) x2(t) +ℓ D
g
x1 x2
x2(t) ℓ
m
Pflichtaufgabe.
• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?
• Was fanden Sie besonders schwierig?
• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?
4
