19. Es sei σ

(1)

Mathematisches Institut Prof. Dr. R. Braun

D¨ usseldorf, den 23.05.2018 Blatt 7

Ubungen zu Gr¨ ¨ obner-Basen

19. Es sei σ

1

das erste elementarsymmetrische Polynom in F

2

[x, y] und es seien s

1

und s

2

die beiden ersten Potenzfunktionen in F

2

[x, y]. Zeigen Sie, dass σ

₂

sich nicht als Polynom in s

1

und s

2

schreiben l¨ asst.

20. Es sei k ein K¨ orper der Charakteristik 0 und es sei ` ∈ N . Zeigen Sie die Existenz von a

α

∈ k

^∗

, so dass

(x

₁

+ · · · + x

_n

)

^`

= X

|α|=`

a

_α

x

^α

.

21. Es sei k ein K¨ orper und es sei eine Matrixgruppe der Ordnung 8 gegeben durch

G :=











±1 0 0

0 ±1 0

0 0 ±1











⊂ GL

3

(k).

Mit R

_G

: k[x

₁

, x

₂

, x

₃

] → k[x

₁

, x

₂

, x

₃

] werde der zugeh¨ orige Reynolds-Operator be- zeichnet.

(a) Bestimmen Sie R

_G

(x

₁

x

₂

x

₃

).

(b) Bestimmen Sie m ∈ N und f

1

, . . . , f

m

∈ k[x

1

, x

2

, x

3

], so dass k[x

1

, x

2

, x

3

]

^G

= k[f

₁

, . . . , f

_m

].

Hinweis: L¨ osen Sie die Teilaufgabe durch Ansatz. Verwenden Sie nicht den Satz von Noether.

Besprechung: 30. Mai