Aufgabe 2.1 Es sei ϕ ein σ-additiver Inhalt auf einem Ring R über X

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Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Robert Denk

Olaf Weinmann

04. Mai 2006 _¢¢AA¢¢AA ^¢¢AA

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Analysis IV 2. Übungsblatt

Denition 2.1 Es sei X eine beliebige Menge. Eine Mengenfolge(A_n)_n∈N⊂P(X) heiÿt kon- vergent gegen A⊂X, falls

lim inf

n→∞ A_n= lim sup

n→∞ A_n=A gilt. Man schreibt A= lim_n→∞A_n.

Aufgabe 2.1 Es sei ϕ ein σ-additiver Inhalt auf einem Ring R über X. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(i) Ist(A_n)_n∈N eine monoton wachsende Folge von Mengen ausR (d.h.∀n∈N:A_n⊂A_n+1) mit A= lim_n→∞A_n∈R, so gilt

ϕ

³

n→∞lim A_n

´

= lim

n→∞ϕ(A_n).

(ii) Ist (A_n)_n∈N eine monoton fallende Folge von Mengen aus R (d.h. ∀n ∈ N: A_n+1 ⊂A_n) mit A= lim_n→∞A_n∈R und ϕ(A_n₀)<∞ für einn₀∈N, so gilt

ϕ

³

n→∞lim A_n

´

= lim

n→∞ϕ(A_n).

Aufgabe 2.2 Es seiX eine nichtleere Menge,R ein Ring inX und µein Prämaÿ auf R (d.h.

µist ein Inhalt und µist σ-additiv). Weiter sei

R˜:={A∈P(X)|∀R∈R:A∩R∈R}

und

˜

µ(A) := sup{µ(R) :R⊂A, R∈R}

Beweisen Sie die beiden folgenden Aussagen:

(i) Das MengensystemR˜ ist eine Algebra inX mitR ⊂R˜. (ii) Die Abbildung µ˜ ist ein Prämaÿ aufR˜, welchesµfortsetzt.

(2)

Denition 2.2 Ein äusseres Maÿµ˜auf einem metrischen Raum(X, d)heiÿt metrisches äuÿeres Maÿ, falls für beliebige Mengen A, B ⊂X mit inf{d(x, y) :x ∈A, y ∈B} >0 gilt µ(A˜ ∪B) =

˜

µ(A) + ˜µ(B).

Aufgabe 2.3 Es sei(X, d) ein metrischer Raum undµ˜ ein äusseres Maÿ auf X, so dass jede oene Menge µ˜-messbar ist. Zeigen Sie, dassµ˜ dann ein metrisches äusseres Maÿ ist.

Aufgabe 2.4 Es sei (X,A) ein Messraum und seienµ, ν zwei Maÿe aufA. Wenn fürA∈A aus µ(A) = 0 schon ν(A) = 0 folgt, so nennen wir ν absolutstetig bezüglich µ und schreiben ν ¿µ. Es gelte nun ν(X)<∞. Zeigen Sie

ν ¿µ⇐⇒ ∀ε >0∃δ >0∀A∈A : (µ(A)< δ=⇒ν(A)< ε)

Abgabetermin: Donnerstag 11. Mai 2006, vor der Vorlesung in die Briefkästen bei F411.