Heilbronn, den 26.10.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Mathematik 3
Blatt 5
Zu bearbeiten bis 2.11.2021
Name: Matrikelnr.:
Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.
• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.
• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.
Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).
Aufgabe 1. Sei
f(t) = t+ 1.
• Berechnen Sie die Laplace Transformierte von σ(t)f(t).
• Berechnen Sie (σ(t)f(t))0 und σ(t)f0(t) sowie die Laplace Transfor- mierte von beiden Funktionen.
• Zeigen Sie an diesem Beispiel, dass wenn σ(t)f(t) c s F(s) gilt
σ(t)f0(t) c s sF(s)−f(0−).
Aufgabe 2. Seig(t) eine Funktion mit Laplace TransformierterG(s). Weiter- hin seif(t) definiert durch
f(t) =
∞
X
k=0
g(t−kT)
für einT > 0. Zeigen Sie, dass für die Laplace TransformierteF(s) von f(t) gilt
F(s) = G(s) 1−e−sT.
Hinweis: Berechnen Sie zunächst einen Term fürf(t−T), wenden Sie den Verschiebungssatz der Laplace Transformation an und überlegen Sie sich, was
f(t)−f(t−T) ist.
Aufgabe 3. Bestimmen Sie die Originalfunktion f(t) der Laplace Transfor- mierten
F(s) = 4s+ 3 5s2+ 6. Sie benötigen dafürkeinePartialbruchzerlegung.
Aufgabe 4. Berechnen Sie die Laplace Transformierte von f(t) =t2e−2t.
Aufgabe 5. Skizzieren Sie die Funktion p(t) =
∞
X
k=−∞
δ(t−k).
Diese Funktion heißt Impulszug und spielt in der digitalen Signalverarbei- tung eine ganz zentrale Rolle.
Seif(t) eine beliebige Funktion und
fp(t) = f(t)p(t).
Skizzieren Sie auch die Funktionfp(t). Zeigen Sie unter Verwendung der Ausblendeigenschaft, dass
fp(t) =
∞
X
k=−∞
fkδ(t−k)
wobei
fk = f(k)
die Abtastwerte vonf(t) bei ganzzahligen Zeitpunktent=k sind.
Zeigen Sie dann, dass
fp(t) c s X∞
k=−∞
fke−sk.
Im wesentlichen benötigen Sie hierfür nur Linearität.
Aufgabe 6. Seif(t) eine beliebige Funktion, p(t) =
∞
X
k=−∞
δ(t−k)
und
fp(t) = f(t)p(t)
=
∞
X
k=−∞
fkδ(t−k)
Beachten Sie, dassfp(t) nur von den Abtastwertenfk abhängt, nicht aber von den Funktionswerten vonf(t) zwischen zwei Abtastwerten. Die La- place Transformierte vonfp(t) ist
fp(t) c s X∞
k=−∞
fke−sk.
Mit der Abkürzung
z = es gilt
e−sk = (es)−k
= z−k. Damit ist
fp(t) c s X∞
k=−∞
fkz−k
Man erhält auf diese Weise eine neue Transformation, die aus einer Folge fk von Abtastwerten eine Funktion von z macht. Diese Transformation heißtz-Transformation. Sie ist definiert durch
fk c s F(z)
=
∞
X
k=−∞
fkz−k.
Im Unterschied zu Laplace- und Fourier Transformation liegt im Zeitbe- reich somit nicht eine kontinuierliche Funktion vontvor sondern nur eine Folge von Abtastwerten. Diez-Transformation ist daher in der digitalen Signalverarbeitung besonders nützlich.
Im wichtigen Spezialfallfk= 0 fürk <0 vereinfacht sich dies zu fk c s X∞
k=0
fkz−k.
Sei z.B.
fk =
1 fürk= 0,1,2 0 sonst
Dann ist
F(z) =
∞
X
k=−∞
fkz−k
= z−0+z−1+z−2
= 1 + 1 z+ 1
z2
= z2+z+ 1 z2 .
Berechnen Sie in gleicher Weise diez-Transformierte von gk =
1 fürk=−1,0,1 0 sonst.
Die Folgenfk undgk unterscheiden sich nur durch eine Verschiebung um einen Takt. Entsprechend sind ihrez-Transformierten ähnlich. Stellen Sie damit eine Vermutung auf, wie sich eine weitere Verschiebung um einen Takt nach links im Bildbereich auswirken würde.
Aufgabe 7. Man kann sich leicht davon überzeugen, dass 1 + 1
2+1 4 +1
8 + 1
16+. . . = 2.
. . .
1 1/2 1/4 1/8
0 1 11/2 13/4 2
Dies lässt sich kompakt schreiben als
∞
X
k=0
(1/2)k = 2.
Wenn wir statt1/2eine beliebige Konstanteaeinsetzen, erhalten wir die Summe
∞
X
k=0
ak.
Solche Summen treten insbesondere bei derz-Transformation auf und hei- ßen geometrische Reihe. Fallsa≥1 werden die Summanden immer größer und das Ergebnis ist ∞. Falls a ≤ −1 werden die Summanden betrags- mäßig immer größer, aber da das Vorzeichen alterniert, konvergiert die Summe überhaupt nicht.
Interessant ist somit der Fall |a| <1. Tatsächlich kann man die Summe mit einem einfachen Trick auf eine geschlossene Form bringen. Sei
S =
∞
X
k=0
ak
= 1 +a+a2+a3+. . . . Multipliziert man beide Seiten mitaerhält man
aS = a+a2+a3+. . . .
Berechnet man nun S−aS subtrahieren sich alle Summanden auf der rechten Seite außer dem Nullten:
S−aS = 1 +a+a2+a3+. . .
− ( a+a2+a3+. . .)
= 1.
Auflösen nachS ergibt
S(1−a) = 1
S = 1
1−a. Damit hat man die Formel für geometrische Reihen
∞
X
k=0
ak = 1
1−a für|a|<1.
Verifiziert man dies füra=1/2erhält man wie erwartet
∞
X
k=0
(1/2)k = 1 1−1/2
= 1
1/2
= 2.
• Berechnen Sie auf gleiche Weise einmal ohne und einmal mit Formel
∞
X
k=0
(−1/2)k.
• Stellen Sie eine ähnliche Formel auf für
∞
X
k=0
a−k.
Für welche Werte von akonvergiert diese Summe?
Aufgabe 8. Berechnen Sie diez-Transformierte der Folge
fk =
3 falls k= 2 7 falls k= 3 0 sonst
Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich, d.h. es sollen keine negativen Exponenten von z auftreten und die Brüche sollen auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden.
Aufgabe 9. Diez-Transformierte einer Folgefk ist definiert durch F(z) =
∞
X
k=−∞
fkz−k
wobeizeine komplexe Zahl ist. Die Sprungfunktionσ(t) hat eine diskrete Variante
σk =
1 fallsk≥0 0 sonst.
Diez-Transformierte vonσk ist somit
F(z) = z−0+z−1+z−2+. . .
Ähnlich wie bei geometrischen Reihen kann man auch diese Summe in geschlossener Form darstellen. Zuerst multipliziert man beide Seiten mit z−1und erhält
z−1F(z) = z−1+z−2+z−3+. . . .
Zieht man beide voneinander ab, erhält man Berechnen Sie nun F(z)−z−1F(z) = z−0
• Berechnen Sie hieraus F(z) und vereinfachen Sie das Ergebnis so, dass keine negativen Exponenten vonz auftreten.
• F(z) ist nicht für allez∈Cdefiniert. Für geometrische Reihen gilt
∞
X
k=0
ak = 1
1−a,
allerdings nur wenn|a|<1. Verifizieren Sie unter Verwendung dieser Formel Ihr Ergebnis für diez-TransformierteF(z) vonσk. Für welche Werte von zistF(z) folglich nur definiert?
Aufgabe 10. Die diskrete Variante des Dirac Impulses ist die Folge δk =
1 fallsk= 0 0 sonst.
Berechnen Sie diez-Transformierte vonδk und vergleichen Sie das Ergeb- nis mit der Laplace- bzw. Fourier Transformierten vonδ(t).
Aufgabe 11. Seia∈Cbeliebig und
fk = σkak.
• Berechnen SieF(z).
• Für welche Werte von zistF(z) definiert?
• Im Spezialfall a = 1 ist fk = σk. Verifizieren Sie Ihr Ergebnis in diesem Fall mit derz-Transformierten vonσk.
Hinweis. Beginnen Sie mit der Definition derz-Transformierten fk c s X∞
k=−∞
fkz−k.
Aufgrund des Faktorsσk fallen alle Summenden mit negativemkweg und man erhält für die gegebene Folge
F(z) = a0z−0+a1z−1+a2z−2+. . . .
Man kann diese Summe durch Umformen auf eine geometrische Reihe bringen:
F(z) = (a/z)0+ (a/z)1+ (a/z)2+. . .
Multiplizieren Sie nun beide Seiten mita/zund subtrahieren Sie die Sum- men um zu einer geschlossenen Form fürF(z) zu kommen.
Aufgabe 12. Für periodische Folgen kann man diez-Transformierte sehr ein- fach berechnen. Sei z.B.
fk = h5,2,7, 5,2,7, 5,2,7, . . .i eine 3-periodische Folge. Dann ist
F(z) = 5z−0+ 2z−1+ 7z−2 + 5z−3+ 2z−4+ 7z−5 + 5z−6+ 2z−7+ 7z−8
...
= (5z−0+ 2z−1+ 7z−2)z−0 + (5z−0+ 2z−1+ 7z−2)z−3 + (5z−0+ 2z−1+ 7z−2)z−6
...
Mit der Abkürzung
a = 5z−0+ 2z−1+ 7z−2 erhält man
F(z) = a(z−0+z−3+z−6+. . .) z−3F(z) = a( z−3+z−6+z−9+. . .) F(z)−z−3F(z) = az−0
F(z)(1−z−3) = a
• Berechnen Sie damitF(z) und vereinfachen Sie das Ergebnis so, dass keine negativen Exponenten vonz auftreten.
• Stellen Sie damit eine allgemeine Formel auf für diez-Transformierte einern-periodischen Folge
ha1, a2, . . . , an, a1, a2, . . . , an, a1, a2, . . . , an, . . .i.
Aufgabe 13. Diez-Transformation ist linear, d.h. es gelten die beiden Korre- spondenzen
fk+gk c s F(z) +G(z) ufk c s uF(z) für alle Folgenfk, gk und alleu∈C.
Die erste Linearitätseigenschaft zeigt man wie folgt. Sei fk c s F(z)
gk c s G(z).
Dann ist
fk+gk c s X∞
k=−∞
(fk+gk)z−k
=
∞
X
k=−∞
fkz−k+gkz−k
=
∞
X
k=−∞
fkz−k+
∞
X
k=−∞
gkz−k
= F(z) +G(z).
Zeigen Sie auf gleiche Weise die zweite Linearitätseigenschaft.
Aufgabe 14. Seifkeine Folge. Dann ist die Folgefk−midentisch mit der Folge fk, nur ummTakte verzögert bzw. nach rechts verschoben.
δk
k k
k σk
k
δk−3 σk−2
1 1
1 1
So folgt z.B. aus
δk =
1 fallsk= 0 0 sonst, dass
δk−3 =
1 falls k−3 = 0 0 sonst
=
1 falls k= 3 0 sonst
= h0,0,0,1,0,0,0, . . .i.
Oder aus
σk =
1 fallsk≥0 0 sonst
dass
σk−2 =
1 fallsk−2≥0 0 sonst
=
1 fallsk≥2 0 sonst
= h0,0,1,1,1,1, . . .i Damit gilt z.B. für allek
σk−2 = σk−δk−δk−1
Berechnen Sie diez-Transformierten vonδk−3, σk−2, σkak−2, σk−2ak−2. Sie dürfen dabei die Linearität derz-Transformation verwenden sowie die Kor- respondenzen
δk c s 1
σk c s z
z−1 σkak c s z
z−a.
Hinweis: Die Folgeσk−2ak−2erhält man ausσkak−2, indem man die Ab- tastwerte fürk= 0,1 löscht, d.h.
σk−2ak−2 = σkak−2−δka0−2−δk−1a1−2.
Verifizieren Sie danach anhand dieser Beispiele, dass eine Verschiebung umm Takte im Zeitbereich eine Multiplikation mit z−m im Bildbereich bewirkt.
Aufgabe 15. Für Summen gelten ähnliche Rechengesetze wie für Integrale.
Insbesondere kann man auch bei Summen substituieren. Das ist sogar noch einfacher als bei Integralen, da man kein dx hat. Gegeben sei die Summe
b
X
k=a
fk−3 = fa−3+fa−2+. . .+fb−3.
Wendet man die Substitition`=k−3 wie bei der Integration sowohl auf den Summanden als auch auf die Grenzen an, erhält man
b−3
X
`=a−3
f` = fa−3+fa−2+. . .+fb−3.
Ersetzt man danach`wieder durchk, erhält man
b
X
k=a
fk−3 =
b−3
X
k=a−3
fk.
Daraus ergibt sich folgende Regel:
Addiert man im Summationsterm zu jedemkeinen festen Wert, muss man diesen von den Summationsgrenzen subtrahieren.
Bei derz-Transformation liegen die Summationsgrenzen im Unendlichen, was die Sache noch einfacher macht. Mit der gleichen Substitution erhält man
∞
X
k=−∞
fk−3 =
∞−3
X
`=−∞−3
f`
=
∞
X
`=−∞
f`
=
∞
X
k=−∞
fk.
Bei einer Summe von−∞bis ∞ kann man somit den Summationsterm beliebig verschieben.
Vereinfachen Sie hiermit die Summe
∞
X
k=−∞
σk−3ak+2.
Aufgabe 16. Der bekannte Verschiebungssatz der Laplace Transformation lau- tet
f(t−ˆt) c s e−stˆF(s).
Bei derz-Transformation hat man die Akürzung z =es eingeführt. Aus dem Faktore−sˆt im Bildbereich wird somitz−ˆt. Da man Folgen nur um ganze Zahlen verschieben kann, ersetzt man ˆtdurchm. Man erhält damit bei einer Zeitverschiebung ummTakte im Bildbereich den Faktorz−m. Wie erwartet lautet der Verschiebungssatz derz-Transformation wie folgt:
Sei
fk c s F(z).
Dann gilt
fk−m c s z−mF(z).
Der Beweis ist nicht schwer.
fk−m c s X∞
k=−∞
fk−mz−k
=
∞
X
k=−∞
fkz−(k+m)
=
∞
X
k=−∞
fkz−kz−m
= z−m
∞
X
k=−∞
fkz−k
= z−mF(z).
Berechnen Sie hiermit diez-Transformierte von fk = σk−4ak−4 und fk = σk−4ak+3.
Sie dürfen dabei die Korrespondenz
σkak c s z z−a verwenden.
Aufgabe 17. Seif(t) eine Funktion mitf(t) = 0 fürt <0 und ∆t >0 beliebig.
Sei
g(t) = Z t
t−∆t
f(τ)dτ.
Zeigen Sie, dass
g(t) c s 1−e−s∆t s F(s).
Lösen Sie die Aufgabe auf zwei Weisen.
• Verwenden Sie den Rechteckimpuls r(t) =
1 fallst≥0 und t <∆t 0 sonst.
Stellen Sieg(t) im Zeitbereich als Faltungsintegral dar und verwenden Sie den Faltungssatz.
• Verwenden Sie eine Stammfunktion vonf(t) um das Integral im Zeit- bereich umzuformen. Um Verwechslungen mit der Laplace Transfor- mierten zu vermeiden, ist es sinnvoll, diese Stammfunktion z.B. mit fˆzu bezeichnen. Verwenden Sie dann die Korrespondenzen der La- place Transformation für Integration im Zeitbereich und den Ver- schiebungssatz.
Pflichtaufgabe.
• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?
• Was fanden Sie besonders schwierig?
• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?
