Heilbronn, den 16.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Mathematik 3
Blatt 8
Zu bearbeiten bis 23.11.2021
Name: Matrikelnr.:
Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.
• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.
• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.
Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).
Aufgabe 1. Berechnen Sie die inverse Laplace Transformierte von
F(s) = s
es(s−1)2. Aufgabe 2. Sei
F(z) = 1
z2+ 1.
• Berechnen Sie die inversez-TransformiertefkvonF(z). Vereinfachen Sie das Ergebnis so, dass keine komplexen Zahlen darin auftreten.
• Sei S ein diskretes LTI System mit Übertragungsfunktion G(z) = z3F(z).
Berechnen Sie die Impulsantwortgk. Warum ist dieses System nicht in Echtzeit realisierbar?
Aufgabe 3. Zeigen Sie dass
∞
X
`=−∞
f`δk−` = fk.
Aufgabe 4. Gegeben sei ein rekursiver Filter mit den Gewichten b0= 1, b1=−1, b2= 1, b3=−1
im Vorwärtszweig und
a1= 1
im Rückwärtszweig. Begründen Sie, weshalb dieser Filter äquivalent zu dem viel einfacheren FIR Filter mit Koeffizienten
b0= 1, b1= 0, b2= 1 ist.
Aufgabe 5. Elektronische Musikinstrumente müssen Schwingungen mit belie- biger Frequenzω erzeugen, d.h. Abtastwerte
gk = cos(ωk∆t)
berechnen, wobei ∆t das Abtastinterval ist. Nun ist die Berechnung der Cosinusfunktion sehr teuer und soll optimiert werden.
Die Idee ist, einen rekursiven Filter zu entwerfen (der ja nur Multiplikatio- nen und Additionen erfordert), dessen Impulsantwort genaugk ist. Man muss in diesen Filter dann noch nochδk eingeben und erhält am Ausgang die gewünschte Cosinus Schwingung.
Berechnen Sie die Koeffizienten dieses Filters und stellen Sie ihn als Block- schaltbild dar. Wie viele Multiplikationen und Additionen sind pro Ab- tastwert zur Berechnung der Impulsantwort dieses Filters erforderlich?
Hinweis: Berechnen Sie diez-TransformierteG(z) vongk. Stellen Sie diese als rationale Funktion inz−1dar. Die Filterkoeffizienten müssen Sie dann nur noch ablesen.
Aufgabe 6. Ein Signalf wird durch einen Kanal mit Impulsantwort g = <2,1>
übertragen. Durch einen rekursiven Filter möchte man die Verzerrung durch diesen Kanal kompensieren. Berechnen Sie die Übertragungsfunk- tionH(z), die Koeffizienten und die Impulsantwort hk dieses Filters. Es muss also gelten
(f∗g)∗h = f.
Aufgabe 7. Zwei lineare, zeitinvariante Systeme mit Impulsantwortenuk bzw.
vkwerden hintereinandergeschaltet. Eine Folgefk, die durch dieses System abgebildet wird, wird also zuerst mituk gefaltet und das Ergebnis mitvk.
uk vk
fk
gk
hk
Die Hintereinanderschaltung der beiden Systeme soll nun durch ein einzi- ges System ersetzt werden. Wie kann die Impulsantwortgkdieses Systems ausuk undvk berechnet werden?
Aufgabe 8. Von einem LTI SystemS sei die Sprungantwort
h = S(σ)
bekannt. Berechnen Sie damit die Impulsantwort vonS und zwar einmal im Zeitbereich und einmal mit Hilfe derz-Transformation.
Hinweis:
δ = σ−σ.−1. Aufgabe 9. Die Fibonacci Folge ist definiert durch
f = h0,1,1,2,3,5,8,13, . . .i bzw. durch
fk = 0 fürk≤0 f1 = 1
fk+2 = fk+1+fk, fürk≥0.
In einer früheren Aufgabe wurde diez-Transformierte
F(z) = z
z2−z−1
vonfkberechnet. Transformieren Sie nunF(z) zurück in den Zeitbereich.
Sie erhalten damit eine geschlossene Formel für die Fibonacci Folge, mit der Sie direktfkohne Rekursion berechnen können. Begründen Sie damit, dass für großekgilt
fk ≈ 1
√5
1 +√ 5 2
k .
Aufgabe 10. Für eine Folgefk gilt
fk−fk−1 = σk2kk2 fürk≥0 und fk = 0 fürk <0.
• Berechnen Sief0, f1, f2undf3.
• Berechnen Sie die z-Transformierte F(z) von fk und vereinfachen Sie diese so weit wie möglich. Es dürfen im Ergebnis keine negativen Potenzen vonz auftreten.
Aufgabe 11. Berechnen Sie die inverse z-Transformierte von F(z) = 1 +z−1−z−3
1−z−1 . Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
Aufgabe 12. Seineine natürliche Zahl.
• Sei
fk =
1 fallsk= 0, n,2n,3n, . . . 0 sonst.
Damit ist
fk = h1,0,0, . . . ,0
| {z }
n−1 Nullen
,1,0,0, . . . ,0
| {z }
n−1 Nullen
,1, . . .i
Berechnen Sie diez-Transformierte vonfk.
• Sei nun
gk =
0 falls k <0
k falls k= 0, n,2n,3n, . . . 3k sonst.
Berechnen Sie die z-Transformierte vongk. Hinweise: Überlegen Sie sich, wie Sie fk transformieren müssen um gk zu erhalten und füh- ren Sie die entsprechenden Schritte auf der z-Transformierten aus.
Sie müssen das Ergebnis nicht auf einen Nenner bringen, formen Sie jedoch so um, dass keine negativen Exponenten von zauftreten.
Aufgabe 13. Seis∈Cunda∈R. Zeigem Sie, dass re(s)> a gdw. |es|> ea. Aufgabe 14. Die Funktion
f(t) =σ(t) sin(t)
wird zu den Zeitpunktenk∆t,k∈Zabgetastet. Die Abtastwerte sind die Folge
fk =f(k∆t).
Berechnen Sie die z-Transformierte von fk. Um zu einer geschlossenen Formel zu kommen, müssen Sie die Sinus Funktion durch komplexe e- Funktionen darstellen. Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
Aufgabe 15. Die Funktion
f(t) =σ(t)tsin(t)
wird zu den Zeitpunktenk∆t,k∈Zabgetastet. Die Abtastwerte sind die Folge
fk =f(k∆t).
Nutzen Sie das Ergebnis der vorigen Aufgabe und die Korrespondenz kfk c s −zF0(z)
um diez-Transformierte vonfk zu bestimmen.
Aufgabe 16. Berechnen Sie die z-Transformierte der Folge fk = k2σk−2.
Vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich und bringen Sie es auf einen Bruch. Hinweis: Sie können sich Rechenaufwand sparen, wenn Sie die Folge im Zeitbereich zunächst skizzieren und vereinfachen.
Aufgabe 17. Seigk eine beliebige Folge.
• Zeigen Sie, dass
k
X
`=−∞
g` = (σ∗g)k für allek.
• Berechnen Sie hiermit und unter Verwendung des Faltungssatzes die z-Transformierte der Folge
fk = σk k
X
`=0
sin(`).
Sie müssen das Ergebnis nicht vereinfachen.
Aufgabe 18. Berechnen Sie diez-Transformierte der Folge
fk =
0 falls k <0 2 falls k= 5 1 sonst.
Aufgabe 19. Berechnen Sie die inversez-Transformierte von
F(z) = 1
z5(z−1).
Hinweis: Sie brauchen hierkeinePartialbruchzerlegung.
Pflichtaufgabe.
• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?
• Was fanden Sie besonders schwierig?
• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?
