1. Formen Sie die folgenden Ausdr¨ ucke derart um, dass keine negativen Exponenten mehr auftreten:

Technische Universit¨ at Chemnitz Prof. Dr. Bernd Hofmann, Prof. Dr. Horst Martini

Fakult¨ at f¨ ur Mathematik Anna Trauth, Jan Blechschmidt

Ubung Elementarmathematik im WS 2011/12 ¨ 3. ¨ Ubungsblatt

Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

1. Formen Sie die folgenden Ausdr¨ ucke derart um, dass keine negativen Exponenten mehr auftreten:

a)

s ⁻⁴ x ² t ⁻⁶ y ⁻⁴

2

:

x ⁻¹ y ⁻² t ⁴ s ⁻³

3

, b)

"

1 5 ⁻³

−2 # −3

, c)

"

x ⁻³ y ⁻² z ⁻³

4 # −2

.

2. Vereinfachen Sie:

a) x + y z

3

s

z ⁴ − z ³ x

x ² + 2xy + y ² , b)

√ a + b

√ a ⁴ − b ⁴ · √

a ² + b ² , c)

√

a ⁴ b · √

a ² b ⁷ · √

a ² b

√

a ² b ⁵ ,

d)

q

a ² p a √

a ³ , e) p

√

x · p √

x ² ·

√

x ⁷ , f) v u u t a b

s b a

r a b .

3. Formen Sie die folgenden Ausdr¨ ucke derart um, dass der Nenner rational wird.

a) 2 √ 5 − √

3 3 √

3 − √

5 , b) 4 √ 5 − √

√ 30

12 + 5 √ 2 , 4. Formen Sie die Logarithmenausdr¨ ucke um bzw. bestimmen Sie x.

a) log _k

√

k, b) log _y y ⁻ⁿ , c) ln e ⁻³ , d) log _x 1

u = −1, e) log ₄ x = 1 2 . 5. Fassen Sie mit Hilfe der Logarithmengesetze zusammen.

a) log _a u + log _a v − log _a w, b) x ln u + y ln v, c) 1

3 log _k a − 1

5 log _k b + 2 3 log _k c.

1

Wurzel-, Exponential- und Logarithmengleichungen 1. L¨ osen Sie folgende Gleichungen:

a) √

5x − 4 = 1 + √

3x + 1, b) √

x + 2 − √

x − 2 = x + 1

√ x + 2 , c) √

x + 2 − √

x + 4 + √

x + 3 = 0, d) 4 √

6x − 1 + 5 = 0, e) e ^x

⁻²

√

x

− e ⁻¹ = 0, f) 10 ^2x − 101 · 10 ^x + 100 = 0, g) ln(x ² + 10x − 4) − ln x − 1 = 0, h) ln(35 − x ³ )

ln(5 − x) = 3.

2. L¨ osen Sie die folgende Formel nach t auf:

a) Kq ^t − q ^t − 1 q − 1 = 0, 3. L¨ osen Sie die Gleichungen:

a) x ⁴ − 5x ² + 4 = 0, b) 10x ⁴ − x ² − 21 = 0.

2