Theoretische Physik II (Lehramt)

Institut f¨ ur Theoretische Physik der Prof. Dr. Joachim Krug Universit¨ at zu K¨ oln, Sommersemester 2018 Benjamin Schmiegelt

Theoretische Physik II (Lehramt)

9. ¨ Ubung

http://www.thp.uni-koeln.de/~schmiegb/sose18/

Abgabe: Dienstag, 19. Juni 2018 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

29. Kinetische Gastheorie Pr¨ asenz¨ ubung Ziel dieser Aufgabe ist es die Zustandsgleichung des idealen Gases, welche Sie aus der Vorlesung kennen, aus der mikroskopischen Beschreibung des idealen Gases abzuleiten. Ein ideales Gas zeichnet sich dadurch aus, dass es aus einer großen Menge gleichartiger Molek¨ ule (Teilchen) besteht, welche sich bis auf elastische St¨ oße mit den Gef¨ aßw¨ anden vollst¨ andig frei und ohne Wechselwirkung bewegen.

Das ideale Gas sei f¨ ur diese Aufgabe in einer Hohlkugel mit Radius r eingeschlossen.

a) Betrachten Sie zun¨ achst ein einzelnes Teilchen mit Geschwindigkeit v

und Masse m, das mit dem Winkel α zur Normalen an die Kugelwand st¨ oßt (siehe Skizze).

v

v

α

α x

2r

Welchen Impuls ¨ ubertr¨ agt das Teilchen beim elastischen Stoß auf die Wand? Welche Ge- schwindigkeit hat es anschließend?

b) Welche Zeit ∆t vergeht bis zum n¨ achsten Stoß des Teilchens aus a)?

Hinweis: Berechnen Sie zun¨ achst die Strecke x, die das Teilchen bis zum n¨ achsten Stoß zur¨ ucklegt.

c) Der Druck auf eine Fl¨ ache ist definiert als die senkrecht auf die Fl¨ ache einwirkende Kraft dividiert durch deren Fl¨ acheninhalt. Nutzen Sie die Ergebnisse von a) und b) um den zeit- gemittelten Druck auf die Kugelwand zu bestimmen.

Hinweis: Die Kraft F sollte nicht vom Winkel α abh¨ angen, so dass Sie zeitmitteln k¨ onnen ohne die weitere Bahn des Teilchen bestimmen zu m¨ ussen.

d) Nun seien N Teilchen mit Masse m und unterschiedlichen Geschwindigkeiten v

in der Hohl- kugel. Zeigen Sie, dass der Druck P , den die Teilchen insgesamt auf die Kugelwand aus¨ uben, durch

P = 2 3

N V E

gegeben ist, wobei E

=

P

i1

2

mv

die mittlere kinetische Energie der Teilchen ist und V das Volumen der Hohlkugel.

e) Welcher Zusammenhang ergibt sich zwischen mittlerer kinetischer Energie und Temperatur

eines idealen Gases? Vergleichen Sie dazu die Gleichung aus d) mit der bekannten idealen

Gasgleichung.

30. W¨ armekapazit¨ at 10+10=20 Punkte Die W¨ armekapazit¨ at C gibt an, welche W¨ armemenge dQ n¨ otig ist, um eine Temperatur¨ ande- rung dT zu bewirken. Es gilt C dT = dQ, wobei man zwischen der W¨ armekapazit¨ at C

bei konstantem Volumen und C

bei konstantem Druck unterscheidet. Bei konstantem Volumen ergibt sich z.B. mit dem 1. Hauptsatz der Thermodynamik

C

dT = dQ = P dV

|{z}

+ dE = dE ⇒ C

= ∂E

∂T

V

.

Die thermodynamische Notation

V

bezeichnet dabei die “Ableitung von E nach T bei konstantem V ”. Mathematisch ausgedr¨ uckt gibt der Index (oder die Indizes) bei der partiellen Ableitung einer Funktion f an, von welchen Variablen diese abh¨ angt, also z.B.

∂f

∂x

y,z

:= ∂

∂x f (x, y, z) .

a) Zeigen Sie, dass f¨ ur die W¨ armekapazit¨ at C

bei konstantem Druck die Gleichung C

= C

+

P +

∂E

∂V

T

∂V

∂T

P

gilt.

Hinweis: Gehen Sie wie im obigen Beispiel von der Gleichung C

dT = dQ = P dV + dE aus, wobei diesmal dV 6= 0 ist. Betrachten Sie dabei die Energie E als Funktion von Volu- men V und Temperatur T , um das Differential dE zu bestimmen.

b) Welchen Wert haben C

und C

f¨ ur das einatomige ideale Gas? Erkl¨ aren Sie anschaulich, warum C

< C

gilt.

Hinweis: Verwenden Sie sowohl die thermische als auch die kalorische Zustandsgleichung des idealen Gases.

31. Adiabatengleichung 8+12=20 Punkte

In dieser Aufgabe soll gezeigt werden, dass ein ideales Gas bei einer adiabatischen Zustands¨ ande- rung (dQ = 0) eine Kurve der Gestalt

P V

= const. (1)

beschreibt, wobei γ = C

/C

der Isentropenexponent ist.

a) Leiten Sie, ausgehend vom 1. Hauptsatz der Thermodynamik und der Definition von C

(siehe Aufgabe 30), die Differentialgleichung

dT

dV = − N k

C

T

V (2)

f¨ ur adiabatische Prozesse her.

b) Zeigen Sie dass die L¨ osung von Gleichung (2) die Adiabatengleichung (1) erf¨ ullt.

Hinweis: Wie in Aufgabe 30b) gezeigt werden sollte, gilt C

= C

+ N k

.