Physik IV – Atome und Molek¨ule

Physik IV – Atome und Molek¨ule

Sommer 2005, Prof. Wim de Boer, Universit¨at Karlsruhe

Ubungsleiter: Frank Hartmann, Forschungszentrum Karlsruhe,¨ Tel.: 07247 82 6330; Email: Frank.Hartmann@cern.ch

L ¨OSUNGENUbung 6¨

1. Positronium→H-¨ahnliches Atom

Unten wird recht ausf¨uhrlich gerechnet, im Prinzip k¨onnen die Bohr-Sommerfeldschen Formeln f¨ur das H-Atom benutzt werden unter Ber¨ucksichtigung der effekti- ven Masse:

(0) effektive Masse:µ=_m^m1m2

1+m2 = ^m_2m^eme

e =^m₂^e (1) Bohr-Modell:E= ¹₂µv²−_4π²^e2

0r; [E=Epot+Ekin] (2) Kr¨aftegleichgewicht: ^µv_r² = _4π²^e2

0r²

(3) Quantisierung des Drehimpulsesµvr=n¯h (2)µω²r=_4π²^e2

0r²

(3)µωr²=n¯h→r=q

n¯h µω (4) in (2):µω²(^n¯_µω^h)^3/2= _4π²^e2

0 →√

ω= _4π²^e2µ1/2

0(n¯h)^3/2 → _2π^ω = _32π^µe3²⁴²₀¯h³ 1 n³

Im Grundzustand n=1:µ= ^m₂^e → _2π^ω =_64π^m3^e²^e2₀⁴¯h³ = 3.288×10^{15 1}_s in (4):r= (^n¯_µ^h)^1/2

q16π²²²₀¯h³

µe⁴ n³= ^4π²_µe⁰2^¯h2n²= (mit n= 1und µ=me/2) ^8π²_m^0¯h2

ee² = 1.059×10⁻¹⁰m.

in (1):E=¹₂µω²r²−_4π²^e2

0r =¹₂µ(_16π^µe2²⁴²₀¯h³ 1

n²)²×(^4π²_µe⁰2^h¯2n²)²−_4π²^e2

0

µe² 4π²0¯h²

1 n² =

1 32

µe⁴ π²²²₀¯h² 1

n² =−₆₄¹ _π^m2²^e2₀^e¯h⁴² =−6.80eV 2. Myon-Atom

(a) (siehe letzte Aufgabe, gleiche Rechnung) µ=_m^mµme

µ+me =_207m^207meme

e+me = 1.625×10⁻²⁸kg

En=−₃₂¹ _π^Z2²²^µe2₀¯h⁴² =−2531^Z_n2²eV (Achtung im Haken-Wolf wurde stattµ nurmµ eingesetzt, deswegen das abweichende Ergebnis)

(b) rn =^4π²_Zµe^0¯h2²n²= 2.84×10⁻³ⁿ_Z²˚A

(c) hν=En=2−En=1 =−₃₂¹ _π^Z2²²^µe2₀¯h⁴²(1/4−1) = 1898Z²eV

3. Beim Franck-Hertz-Versuch entspricht der Abstand der Minima (bzw. Maxi- ma) ∆UBin der Strom-Spannungs-Kennlinie einer charakteristischen Energie eines ¨Ubergangs eines Elektrons in den Atomen bzw. Molek¨ulen des F¨ullgases.

(a) Die SpannungUB = 4V liegt zwischen dem ersten und zweiten Minimum.

Die Wellenl¨ange dieses charakteristischen ¨Ubergangs ist λ = _e∆U^hc

B =

589nm. Das F¨ullgas leuchtet also im gelben Spektralbereich.

F¨urUB= 5V leuchtet es ebenfalls gelb.

(b) Bsp.: Natriumdampf und⁸⁶Krypton leuchtet im gelben Spektralbereich.

Es k¨onnte sich also um Natriumdampf oder⁸⁶Krypton handeln.

(c) Die kinetische Energie der ElektronenEkinmuss mindestens so groß sein, wie die Energie des charakteristischen ¨Ubergangs, d. h.Ekin ≥e∆UB. DaEkin=^m₂v² , mussv≥p

2e∆UB/m= 8.6×10⁵m/ssein.

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4. Ist eines der beiden Elektronen entfernt, so ben¨otigt man die EnergieZ²Ei, wobei EI = 13.6eV die Ionisierungsenergie des H-Atoms ist. F¨ur He (Z=2) ergibt dies 54.4eV. Die Differenz zu 79eV (24.6eV), ist dann die Ionisierungs- energie des ersten Elektrons.

5. Der R¨uckstoßimpulsp_H des Atoms ist gleich dem Impulshν/c des Photons.

Die ¨Ubergangsenergie E ist E = hν+p²_H/(2MH). Aus diesen beiden Glei- chungen erh¨alt man mit Hilfe einer einfachen N¨aherung (hν ¿ 2MHc²) die R¨uckstoßenergie TR ≈ E²/(2MHc²). Mit En = −^Rhc_n2 ; E1 = −13.6eV und E2= ^E₂2¹ =−3.4eV ⇒n= 2→n= 1 E2→1 = 10.2eV (auch aus Diagramm Haken-Wolf S 104 oder ¨ahnlichem Termschema). Mit E=10.2eV ergibt sich sichTR = 5.5×10⁻⁸eV. Die nat¨urliche Linienbreite betr¨agt ∆E = ¯h/∆t = e×10⁻⁷eV. Wegen ∆E >2TR ist Resonanzabsorption m¨oglich.

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