Physik IV – Atome und Molek¨ule

Physik IV – Atome und Molek¨ule

Sommer 2005, Prof. Wim de Boer, Universit¨at Karlsruhe

Ubungsleiter: Frank Hartmann, Forschungszentrum Karlsruhe,¨ Tel.: 07247 82 6330; Email: Frank.Hartmann@cern.ch

L ¨OSUNGENUbung 7¨

1. (a) Das Element hat 14 Elektronen⇒Silizium.

(b) Das Element hat 20 Elektronen⇒Kalzium.

2. Einstein-de-Haas

(a) magnetisches Moment des vom Elektron bedingten Kreisstroms:~µ=I ~A mit I = ^−e_T = ^−eω_2π und A= πr² folgt: ~µ= −¹₂eωr²lˆz mit~l=mωr²lˆz

folgt:~µ=−_2m^e ~l

(b) Ausrichtung der atomaren magnetischen Momente im Eisenµ~F ebedingt eine ¨Anderung der atomaren DrehimpulseL~Atom→ Zylinder dreht sich wegen Drehimpulserhaltung, also L~makro entgegengesetzt zu ~LAtom :

~Lmakro|| −~LAtom

Da~LAtom|| −~µF e und~µF e||B folgt L~makro||B~ oder~ω||B~ AusL~ = ΘF e~ωfolgt ~ω= ^{2nF e}_θ^L~makro

F e (I) (2 wegen Umklappen) mit nF e: Anzahl der Eisenatome = ^M_m^{F e}

F eNAundmF e : atomare Masse von Eisen

→ω=^2NA_θ^{MF eLAtom}

F emF e (II) (c) γ= _|L~^|~µ|

Atom|= _|n^{|nF e~µ|}

F eL~Atom|= _|n^{|M~F e|}

F eL~Atom|= (mitI) = _Θ^{|M~F e|}

F e|ω|

mitM~: magnetisches Moment des Zylinders (Achtung M:Masse;M~: magn. Moment)

(d) aus (II) folgt mit Annahme LAtom = ¯h und ρ= _πr^M2L^{F e}Zyl = _2πΘ^{MF e2}

F eLZyl; LZyl:L¨ange des Zylinders. ΘF e= ΘZyl.=ρV ^r₂²

→ω= _M^2N2 ^{AMF e¯h} 2πΘF eLZylF e ΘF emF e

= ^4πN_M^A¯hρLZyl

F emF e

→ω=^{4π×6×1023×1.05×10}₁₀−3×55.8^{−34×7.87×103×10−2} = 1.1×10^{−6 1}_s 3. Stern-Gerlach

(a) inhomogenes Magnetfeld ¨ubt Kraft auf magnetische Momente aus. Klas- sisch w¨urde man eine isotrope Verteilung der magnetischen Momente im Silberstrahl, also ein Kotinuum m¨oglicher Ablenkungen erwarten.

Gemessen werden jedoch zwei Linien: (siehe auch Haken-Wolf):

→ Richtungsquantelung: Atome haben nur diskrete M¨ogl. zur Einstel- lung der mahn. Momente relativ zum Magnetfeld: parallel und antipar- allel.

→beim Bahndrehimpuls der abgeschlossenen inneren Schalen (man misst denselben Wert der Ablenkung f¨ur alle Atome, die ein ¨ausseres s-Elektron haben)

→s-Elektron hat l=0, man misst nur Spinmagnetismus (b)

• Ekin=^MAg₂^v2x = ³₂kT →v_x²=q

3kT MAg (1)

1

a b

d/2

~Z

Abbildung 1:Stern-Gerlach-Versuch

• ta= _v^a

x =aq

3kT MAg (2)

• tb= _v^b

x =bq

3kT MAg (3)

• Kraft:Fz=µAg∂B

∂z wobeiµAg=µs=−gs e

2mems¯h=±_2m^e¯h

e

∂B

∂z (4), mitm_s=±¹₂ undg_s= 2

Aus (4) folgt:MAgz¨=±_2m^e¯h

e

∂B

∂z (5)

• Beim Austritt aus dem Magnetfeld gilt:

Vz= ¨zta = (mit5) ±_2m^e¯hab

eMAg

∂B

∂zta = (mit2) ± ^e¯ha

2me

√3kT MAg

∂B

∂z

Von da an ist die Geschwindigkeit konstant:

˜

z=Vztb= (mit3) _6m^e¯hab

ekT∂B

∂z (6)

• Der Weg (in z-Richtung) im Magnetfeld betr¨agt:

d

2−z˜ = ¹₂zt¨²_a = (mit5) _4m^e¯h

eMAg

∂B

∂zt²_a = _4m^e¯h

eMAg

∂B

∂z a²MAg

3kT ⇒ d = 2×(_12m^e¯ha2

ekT∂B

∂z −_6m^e¯hab

ekT∂B

∂z) = _3m^e¯ha

ekT∂B

∂z(^a₂+b) (7)

(c) (7) ist unabh¨angig von der Masse der Silberatome→selbes Ergebnis f¨ur verschiedene Isotope, und auch f¨ur andere Elemente, solange ihr magne- tisches Moment von einem einzigen Elektron erzeugt wird.

(d) Im Ofen erhalten die Atome thermische Geschwindigkeiten, die am be- sten durch eine Maxwell’sche Geschwindigkeitsverteilung beschrieben wird.

→Die gemessenen Linien sind nicht scharf, sondern gem¨ass der Vertei- lung der Geschwindigkeitenverwaschen.

2