Theoretische Physik II (Lehramt)

Institut f¨ ur Theoretische Physik der Prof. Dr. Joachim Krug Universit¨ at zu K¨ oln, Sommersemester 2018 Benjamin Schmiegelt

Theoretische Physik II (Lehramt)

2. ¨ Ubung

http://www.thp.uni-koeln.de/~schmiegb/sose18/

Abgabe: Dienstag, 24. April 2018 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

6. Ebene Welle und Wellenpaket 5+5+5+5=20 Punkte a) Sie haben im Kapitel 2.1. der Vorlesung die (freie) Schr¨ odingergleichung kennengelernt, motiviert durch die Annahme, dass ebene Wellen mit der quadratischen Dispersionsrelation L¨ osungen dieser Gleichung sein sollten. Zeigen Sie, dass die ebene Welle ψ _{~ k} (~ r, t) = e ^{i[ ~ k~ r−ω( ~ k)t]}

mit der Dispersionsrelation ω( ~ k) = ^~ _2m ^{| ~ k|}

tats¨ achlich eine L¨ osung der freien Schr¨ odingerglei- chung ist.

b) In Kapitel 2.2. haben Sie die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der L¨ osung der Schr¨ odinger- gleichung kennengelernt. Welches Problem tritt auf wenn Sie die ebene Welle aus Aufgaben- teil a) in dieser Weise interpretieren? F¨ uhren Sie notwendige Berechnung durch.

c) Als Konsequenz der in Aufgabenteil b) angesprochenen Probleme wurde in der Vorlesung in Kapitel 2.3. das (lokalisierte) Wellenpaket

ψ(~ r, t) = Z

d ³ k A( ~ k)ψ _{~ k} (~ r, t)

eingef¨ uhrt. Zeigen Sie, dass dieses ebenfalls eine L¨ osung der Schr¨ odingergleichung ist. Sie d¨ urfen verwenden, dass ψ _{~ k} bereits eine L¨ osung der Schr¨ odingergleichung ist.

d) Welche Bedingungen muss A( ~ k) erf¨ ullen, damit die Wahrscheinlichkeitsinterpretation des Wellenpakets aus Aufgabenteil c) m¨ oglich ist?

7. Satz von Plancherel Pr¨ asenzaufgabe

In Kapitel 2.3.1. wurde die (eindimensionale) Fouriertransformation eingef¨ uhrt. Sei, wie in der Vorlesung, ψ(x) eine beliebige (normierbare und eindimensionale) Wellenfunktion und ˆ ψ(k) ihre Fouriertransformierte. Zeigen Sie den sogenannten Satz von Plancherel:

Z ∞

−∞

|ψ(x)| ² dx = Z ∞

−∞

| ψ(k)| ˆ ² dk

Dieser Satz zeigt, dass die Fouriertransformierte einer normierten Wellenfunktion ebenfalls als

normierte Wellenfunktion mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeitsinterpretation aufgefasst

werden kann.

8. Kontinuit¨ atsgleichung 12+8=20 Punkte a) In Kapitel 2.2. wurde die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Wahrscheinlichkeitsdichte ρ _ψ = |ψ| ² f¨ ur ein freies Teilchen abgeleitet. Leiten Sie analog die Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur die Schr¨ odingergleichung mit Potential

i~ ∂ψ

∂t = − ~ ²

2m ∇ ² ψ + V (~ r)ψ her. Gilt das Ergebnis auch f¨ ur komplexe Potentiale?

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsstromdichte J ~ ψ f¨ ur eine ebene Welle, d.h.

ψ(~ r, t) = A 0 e ^{i( ~ k·~ r−ωt)} , und interpretieren Sie das Ergebnis.

9. Ehrenfest-Theorem I Pr¨ asenzaufgabe

Betrachten Sie ein eindimensionales quantenmechanisches System mit Wellenfunktion ψ = ψ(x, t).

In Kapitel 2.2. wurden der Ortserwartungswert hxi und der Impulserwartungswert hpi definiert.

Zeigen Sie, dass der Ortserwartungswert die folgende Zeitentwicklung aufweist:

m d

dt hxi = hpi,

dass sich also die Erwartungswerte der beiden quantenmechanischen Observablen wie die ana- logen klassischen Gr¨ oßen verhalten.

Hinweis: Verwenden Sie an geeigneter Stelle zweifache partielle Integration, um zu zeigen, dass Z

d ² dx ² ψ ^∗

x ψ dx = Z

ψ ^∗ d ²

dx ² (x ψ) dx .