1 Streuwelle als asymptotische L¨ osung der Schr¨ odingergleichung

Humboldt-Universit¨ at zu Berlin Institut f¨ ur Physik

Dr. V. Mitev, D. M¨ uller, H. M¨ unkler, Prof. Dr. J. Plefka Fortgeschrittene Quantentheorie WS 2012/13

Ubungsblatt 12 ¨ , Abgabe am Fr. 25.01.13 vor der Vorlesung, Besprechung in den ¨ Ubungen am 28.01.13/30.01.13.

1 Streuwelle als asymptotische L¨ osung der Schr¨ odingergleichung

Zeigen Sie, dass die in der Vorlesung diskutierte Streuwelle eines in positiver z-Richtung einfallenden Teilchens mit Wellenzahl k

ψ k (r, ϑ) = e ^ikz + f k (ϑ) e ^ikr

r , mit z = r cos ϑ , eine asymptotische L¨ osung der Schr¨ odingergleichung

− ~ ²

2m ∆ + V (r)

ψ k = E k ψ k

f¨ ur r → ∞ darstellt, falls das Streupotential V st¨ arker als 1/r abf¨ allt.

2 Eindimensionale Streuung am Deltafunktionspotential

Lesen Sie im Vorlesungsskript das Kapitel ¨ uber die Lippmann-Schwinger Gleichung. Wir betrachten nun die Lippmann-Schwinger Gleichung

ψ ^±

= | φ 0 i + 1 E − H ˆ ₀ ± i

V ˆ ψ ^±

, ( → 0) in einer Raumdimension.

a) Leiten Sie, unter der Annahme, dass ˆ V nur von ˆ x abh¨ angt, die Gleichung ψ ^± _k (x) = e ^ikx

√ 2π ~

+ 2m

~ ² Z ∞

−∞

dx ⁰ G ^± _k (x, x ⁰ )V (x ⁰ )ψ ^± _k (x ⁰ ), her und zeigen Sie, dass

G ^± _k (x, x ⁰ ) := lim

→0

~ ²

2m hx | 1

E _k − H ˆ ₀ ± i | x ⁰ i = lim

˜ →0

Z ∞

−∞

dq 2π

e ^iq(x−x

⁾

k ² − q ² ± i˜ = ∓i e ^±ik|x−x

^| 2k . Es gilt hier E k = ^~ _2m

^k

, hx|φ 0 i = ^{√ e}

2π ~ , hx|ψ ^± _k i = ψ ^± (x) und ˜ = ^2m

~

.

b) Wir betrachten nun das eindimensionale Problem der Streuung am Deltafunktionspotential

V (x) = −v δ ⁽¹⁾ (x/L), wobei v und L beliebige Konstanten sind. Wie lauten f¨ ur dieses Streu-

problem die exakten Wellenfunktionen ψ ⁺ _k (x) = hx|ψ ⁺ _k i? Bestimmen Sie diese durch L¨ osen der

Lippmann-Schwinger Gleichung in d = 1.