Theoretische Physik II (Lehramt)

Institut f¨ ur Theoretische Physik der Prof. Dr. Joachim Krug Universit¨ at zu K¨ oln, Sommersemester 2018 Benjamin Schmiegelt

Theoretische Physik II (Lehramt)

11. ¨ Ubung

http://www.thp.uni-koeln.de/~schmiegb/sose18/

Abgabe: Dienstag, 3. Juli 2018 bis 12:00 Uhr im Kasten vor der Theoretischen Physik

35. Boltzmann’sche Entropie 9+6=15

In Kapitel 2.1.1. der Vorlesung wurde der Beitrag Ω _r (V, N) der r¨ aumlichen Freiheitsgrade zur Boltzmann’schen Entropie bestimmt. Dazu wird das Volumen V in Zellen mit Kantenl¨ ange ∆x und Zellvolumen v 0 = (∆x) ³ eingeteilt. Jedem der N Teilchen wird eine dieser M = V /v 0 Zellen zugewiesen. Der Fall unterscheidbarer Teilchen wurde in der Vorlesung behandelt und es wurde gezeigt, dass die Entropie solcher nicht extensiv w¨ are.

a) Zeigen Sie, dass Ω _r (V, N) = ^N+M−1 _N

f¨ ur ununterscheidbare Teilchen. ¨ Uberlegen Sie sich dazu, was die kombinatorische Bedeutung dieses Binomialkoeffizienten ist und wie diese zum Ausgangsproblem passt.

b) Ausgehend von a), nutzen Sie Stirling’s N¨ aherung um Ω r (V, N ) im Regime M N 1 wieder auf die in der Vorlesung angegebene N¨ aherung f¨ ur ununterscheidbare Teilchen zur¨ uckzuf¨ uhren.

36. Kugel in d Dimensionen 5+5+4+7+4=25 Punkte Bei Anwendungen im Phasenraum betrachtet man oft R¨ aume mit Dimensionen in der Gr¨ oßen- ordnung der Teilchenzahl, also d ≈ 10 ²³ . Wir betrachten in dieser Aufgabe das Volumen V _d (R) und die Oberfl¨ ache O _d (R) von d-dimensionalen Kugeln mit Radius R.

a) Im allgemeinen gen¨ ugt es Einheitskugeln zu betrachten, da V _d (R) = R ^d V _d (1) gilt. Zeigen Sie damit

d→∞ lim

V d (R) − V d (R − x ^R _d )

V d (R) = 1 − e ^−x und interpretieren Sie das Ergebnis.

b) Bei einer Vergr¨ oßerung des Radius um dR vergr¨ oßert sich das Volumen um dV d (R) = O d (R) dR. Zeigen Sie damit, dass V d (R) = ^R _d O d (R).

Wir wollen nun einen allgemeinen Ausdruck f¨ ur V _d (R) bzw. O _d (R) herleiten. Dazu werden wir das d-dimensionale Gauss-Integral

I = Z ∞

−∞

dx ₁ · · · Z ∞

−∞

dx _d e ^−(x

^+x

^+...+x

⁾ (1) auf zwei unterschiedliche Arten berechnen.

c) Zeigen Sie unter Verwendung von Aufgabe 3b) (auf dem 1. ¨ Ubungsblatt), dass I = π ^n/2 .

d) Zeigen Sie nun, indem Sie auf d-dimensionale Kugelkoordinaten transformieren, dass I = O _d (1)

2 Γ d

2

,

wobei Γ(x) = Z ∞

0

t ^x−1 e ^−t dt die Gammafunktion ist.

Hinweis: Nutzen Sie aus, dass der Integrand von Gleichung (1) in Kugelkoordinaten nur von R =

q

x ² ₁ + . . . + x ² _d abh¨ angt. Weiterhin ist die Beziehung dV _d = O _d dR, die schon in Teil b) angesprochen wurde, hier sehr hilfreich.

e) Zeigen Sie schließlich unter Verwendung der bisherigen Aufgabenteile, dass V _d (R) = R ^d π ^d/2

Γ( ^d ₂ + 1) .

37. Idealer Paramagnet Pr¨ asenzaufgabe Als idealisiertes Modell eines Paramagneten betrachten wir N unabh¨ angige und unterscheid- bare Spins, deren z-Komponenten die Werte σ i = ± ¹ ₂ (i = 1, . . . , N ) annehmen k¨ onnen. In einem Magnetfeld der St¨ arke B hat das System bei einem Mikrozustand σ = (σ 1 , . . . , σ N ) einen Makrozustand mit Energie

E(σ) = −2µB

N

X

i=1

σ i = −E ₀ (N + − N − ) ,

wobei µ das magnetische Moment eines Spins und E ₀ = µB ist. Die Gr¨ oße N ± gibt die Zahl der Spins mit σ _i = ± ¹ ₂ an (d.h. N ₊ + N − = N ).

a) Wie viele verschiedene Mikro- und Makrozust¨ ande hat das System?

b) Wie viele Mikrozust¨ ande Ω(E, N ) gibt es zu einer festen Energie E?

Hinweis: Die Energie E(σ) des Systems ist wahlweise durch N + oder N − eindeutig festgelegt.

Wie viele M¨ oglichkeiten gibt es, N ₊ (bzw. N − ) Spins aus N Spins auszuw¨ ahlen?

c) Zeigen Sie, dass f¨ ur große N die Entropie S(E, N ) = k _B ln(Ω) durch S(E, N ) = k B N s

E E 0 N

mit s(x) = ln 2 − 1 − x

2 ln(1 − x) − 1 + x

2 ln(1 + x) gegeben ist. Skizzieren Sie s(x).

Hinweis: Verwenden Sie das Ergebnis aus Aufgabe 27c) auf dem 8. ¨ Ubungsblatt.

d) Berechnen und skizzieren Sie die Temperatur T als Funktion der Energie E. Was f¨ allt auf?

e) Berechnen und skizzieren Sie die Energie E als Funktion der Temperatur T .

Hinweis: Das Ergebnis l¨ asst sich sehr kompakt unter Verwendung des Tangens Hyperbolicus

ausdr¨ ucken.