Übung Einführung in die Neutrinoastrophysik Prof. Dr. Julia Tjus
Übungen/Seminarbetreuung: Nils Nierstenhöfer (NB 7/166) Übungsblatt V
SS 14 Abgabe: 12.6.2014
Aufgabe 14: Maximale Elektronenenergie im Tritiumzerfall [4 Punkte]
In der Vorlesung wurde die Bestimmung der Masse des Elektronneutrino aus dem β − −Zerfall des Tritiums behandelt
H 3 → He 3 + e − + ¯ ν e . (1) Dabei wurde folgende Beziehung für die maximale Energie E max des Elektrons angenommen
E max = m 2 H
3+ m 2 e − (m He
3+ m ν ¯
e) 2 2m H
3. (2)
Leiten Sie diese Beziehung unter der Annahme eines effektiven Zweikörperzerfalls her.
Aufgabe 15: Majorana-Phase [4 Punkte]
Zeigen Sie, dass für das Majorana-Neutrino (Ψ M ∝ Ψ C M ) gilt:
CΨ ˜ M = λ ∗ C Ψ M , (3) wobei λ C eine Phase λ C = exp(iφ) ist.
Hinweis: Nutzen Sie, wie aus der Vorlesung bekannt ist, dass das Majorana-Neutrino Ψ M eine Linearkombination aus Teilchen und Antiteilchen ist:
Ψ M = 1
√ 2 Ψ + λ C Ψ C
. (4)
Aufgabe 16: Massen-Matrix im Seesaw-Modell [4 Punkte]
Im Seesaw-Modell steht im Lagrangian ein Massenterm der Gestalt
Ψ L , Ψ C L
m L m D m D m R
Ψ C R Ψ R
+ c.c. (5)
Zeigen Sie unter der Annahme m L = 0, m D m R , dass die Beträge der Eigenwerte der Matrix M =
m L m D
m D m R
sich zu m 1 ≈ m m
2DR
m D und m 2 ≈ m R ergeben.
Aufgabe 17: Der Dirac-Fall als Spezialfall des Majorana-Falls [3 Punkte]
In der Vorlesung wurde der allgemeine Massenterm L DM = Ψ L MΨ c R + Ψ c R M Ψ L (Dirac-Majorana Massenterm) 1 für eine Neutrinoart eingeführt. In diesem Zusammenhang sei an die Masseneigen- werte
˜
m 1,2 = 1
2 [(m L + m R ) ± q
(m L − m R ) 2 + 4m 2 D ] (6) und die Beziehung tg(2θ) = 2m D /(m R − m L ) für den Mischungswinkel θ erinnert.
(a) Die Masseneigenwerte m ˜ 1,2 können negativ sein. Schreiben Sie daher
˜
m k = k m k mit m k = | m ˜ k | und k = ±1 (k = 1, 2), (7) um positive Massen zu erhalten. Zudem definieren wir die Felder ϕ 1 = ψ 1L + 1 ψ 1R c und ϕ 2 = ψ 2L + 1 ψ c 2R über die Masseneigenzuständen ψ 1L , ψ c 1R , ψ 2L , ψ c 2R .
1
