Übung zur Vorlesung
Einführung in die Algebra
Prof. Dr. J. H. Bruinier
Stephan Ehlen
Sommersemester 2009 Übungsblatt 2
Aufgabe G2.1 Abelsche Gruppen
Es seiGeine endliche abelsche Gruppe. Zeigen Sie, dass dann gilt Y
g∈G
g2=1.
Aufgabe G2.2 Prüfen der Gruppenaxiome
Wir definieren eine Verknüpfung◦: (−1, 1) ×(−1, 1) → (−1, 1)durch r◦s:= r+s
1+rs fürr,s∈ (−1, 1),
unter Benutzung der Addition und Multiplikation inR. Zeigen Sie, dass tatsächlichr◦s∈ (−1, 1)gilt.
Ist( (−1, 1),◦, 0)eine Gruppe?
Aufgabe G2.3 Charakterisierungen von Untergruppen Es seiGeine Gruppe undH⊆Geine Teilmenge.
(a) Zeigen Sie, dassHgenau dann eine Untergruppe vonGist, wenn das neutrale Element1inHenthalten ist und
∀x,y∈H: x y−1∈H (1)
(b) Zeigen Sie, dassHgenau dann eine Untergruppe vonGist, wennH6=;und (1) gilt.
Aufgabe G2.4 Eigenschaften von Gruppenhomomorphismen
SeienG,HGruppen undϕ:G→Hein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie:
(a) ϕist genau dann injektiv, wennker(ϕ) ={1G}ist.
(b) ϕist genau dann surjektiv, wenn im(ϕ) =Hist.
(c) ϕist genau dann ein Isomorphismus, wennϕbijektiv ist.
Aufgabe G2.5 Allgemeine Potenzen
Es sei(G,◦, 1)eine Gruppe undg∈G. Rekursiv definieren wir Potenzen vongviag0:=1sowie gn:=gn−1g, g−n:=g−(n−1)g−1= (g−1)n
für allen∈N.
(a) Machen Sie sich klar, dassgngm=gn+mfür allen,m∈N0.
(b) Machen Sie sich klar, dassgng−n=1und somitg−n= (gn)−1, für allen∈N. (c) Nun zeigen Sie, dassgngm=gn+mfür allen,m∈Z(Fallunterscheidung !)
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Aufgabe H2.1 Abelsche Gruppen
(a) Es seiGeine Gruppe. Für alleg∈Ggelteg2=1. Zeigen Sie, dassGabelsch ist.
(b) Es seiGeine zyklische Gruppe. Zeigen Sie, dassGabelsch ist.
(c) Es seien(G,·, 1)und(H,+, 0)Gruppen.Hsei außerdem abelsch. Es seiHom(G,H)die Menge der Gruppenhomo- morphismen vonGnachH. Wir definieren die Summe vonf,g∈Hom(G,H)als
(f +g)(x) =f(x) +g(x). Zeigen Sie, dassHom(G,H)so zu einer abelschen Gruppe wird.
Funktioniert dies auch, wennHnicht abelsch ist?
Aufgabe H2.2 Verschiedenes zu Gruppen Es seiGeine Gruppe.
(a) Zeigen Sie: Sinda,b,cElemente vonGmita b=ac, so istb=c.
(b) Es seixein Element vonGderart, dassxn=1für einn∈N. Zeigen Sie, dass es dann einm∈Ngibt mitxm=x−1. (c) Gsei endlich. Zeigen Sie, dass es zu jedemx∈Geinn∈Nmitxn=1gibt.
(d) Gsei abelsch. Zeigen Sie, dass
tor(G):={x∈G:(∃n∈N)xn=1}
eine Untergruppe vonGist (genannt die “Torsionsuntergruppe”).
(e)∗ Zeigen Sie durch ein Beispiel, dasstor(G)keine Untergruppe vonGsein muss, wennGnicht abelsch ist.
Aufgabe H2.3 Gruppenautomorphismen
SeiGeine Gruppe undAut(G)bezeichne die Menge der Automorphismen vonG.
(a) Zeigen Sie, dassAut(G)mit der Komposition◦von Abbildungen eine Gruppe bildet.
(b) Zeigen Sie, dass für jedesa∈Gdie Abbildung
ϕa:G→G, g7→a g a−1
inAut(G)enthalten ist. Die Abbildung ist ein sogenannterinnerer AutomorphismusvonG. (c) Zeigen Sie, dass die Abbildung
ψ:G→Aut(G), g7→ϕg, ein Gruppenhomomorphismus ist.
Aufgabe H2.4 Gruppenisomorphismen (a) Zeigen Sie, dass die Exponentialfunktion
exp :R→R>0 einen Isomorphismus der Gruppen(R,+)und(R>0,·)definiert.
(b) Kann es auch einen Gruppenisomorphismus zwischen der additiven Gruppe(Q,+)und der multiplikativen Gruppe
(Q>0,·)geben?
Hinweis:Die Hausaufgaben sind die mit dem Buchstaben “H” gekenzeichneten Aufgaben. Aufgaben, die mit einem ∗ gekennzeichnet sind, sind freiwillige Zusatzaufgaben. Die bearbeiteten Aufgaben werden am 12. bzw. 13.5. zu Beginn der Übungen abgegeben.Bitte versehen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen.
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