Übung zur Vorlesung
Einführung in die Algebra
Prof. Dr. J. H. Bruinier
Stephan Ehlen
Sommersemester 2009 Übungsblatt 3
Aufgabe G3.1 Automorphismen vonZ
Bestimmen Sie alle Automorphismen der Gruppe(Z2,+). Können Sie daraus herleiten, was die Automorphismengruppe von(Zn,+)ist?
Aufgabe G3.2 Eine von zwei Elementen erzeugte Gruppe
Es seiGeine Gruppe, welche von zwei Elementena,b∈Gerzeugt wird, die miteinander vertauschen, d.h.a b=ba. (a) Zeigen Sie, dassG={aibj:i,j∈Z}.
(b) Zeigen Sie, dassGabelsch ist.
Aufgabe G3.3 Normalteiler
SeiGeine Gruppe undN⊂Geine Untergruppe. Zeigen Sie, dass folgende Aussagen äquivalent sind:
(a) N ist Normalteiler.
(b) Für alleg∈Ggiltg N g−1=N. (c) Für alleg∈Ggiltg N g−1⊂N.
Aufgabe G3.4 Die Quaternionengruppe
Im folgenden überlegen wir uns, dass auch in nichtabelschen Gruppen jede Untergruppe ein Normalteiler sein kann. Die Quaternionengruppeist definiert als
Q:={±E,±I,±J,±K} ⊂GL2(C), wobei
I=
i 0
0 −i
, J=
0 1
−1 0
, K=I J.
(a) Zeigen Sie, dassQnicht abelsch ist.
(b) Zeigen Sie, dass alle Untergruppen vonQNormalteiler sind.Tipp: Benutzen Sie hier bereits Aufgabe H3.4 (b).
Anmerkung: Eine nichtabelsche Gruppe, in der alle Untergruppen normal sind, nennt manhamiltonsch.
Aufgabe G3.5 Permutationsdarstellung
SeiG={g1, . . . ,gn}eine endliche Gruppe undSnbezeichne die symmetrische Gruppe einern-elementigen Menge.
(a) Zug∈Gdefinieren wirσg∈Sn, so dassg gi=gσg(i)füri=1, . . . ,ngilt. Zeigen Sie, dass die Abbildung ρ:G→Sn, g7→σg
ein Gruppenhomomorphismus ist.
(b) Zeigen Sie, dass jede endliche Gruppe isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen GruppeSnist.
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Aufgabe H3.1 Rechnen mit Kongruenzen;Z/mZ
Seim>1eine natürliche Zahl.
(a) Finden Sie ein Repräsentantensystem für die QuotientengruppeZ/mZ. (b) Wir definieren außerdem eine Multiplikation aufZ/mZdurch
(x+mZ)·(y+mZ) =x y+mZ.
Zeigen Sie, dass diese Definition unabhängig von der Wahl der Vertreter x,y ∈Z ist und dass (Z/mZ,·, 1) ein Monoid ist.
Bemerkung:Es gelten auch die üblichen Distributivgesetze und so wirdZ/mZmit Addition und Multiplikation zu einemRing.
(c) Ein Elementaeines MonoidsM heißt Nullteiler, falls einb∈M,b6=0existiert, so dassa b=0oder ba=0. Für welche natürlichen Zahlenm>1bezitztZ/mZkeine Nullteiler außer der0?
(d) Für welchem>1ist((Z/mZ)\ {0},·)eine Gruppe?
Überlegen Sie hierzu, wann für jedesx+mZ∈Z/mZdie Multiplikationsabbildung y+mZ7→x y+mZbijektiv ist.
Bemerkung: Wir haben (fast) gezeigt, dass in diesen FällenZ/mZsogar ein Körper ist.
Aufgabe H3.2 Additive Darstellung des ggT; Erzeuger zyklischer Gruppen
(a) Die Zahlenk1,k2∈Zseien nicht beide0. Machen Sie sich klar, dassk1 undk2genau dann teilerfremd sind (also den größten gemeinsamen Teiler1haben), wenn esa,b∈Zgibt mitak1+ bk2 = 1
(b) Gegebenn∈NseiCn:={z∈C:zn=1}die Gruppe der n-ten Einheitswurzeln. Für welche k∈ {0, 1, . . . ,n−1} erzeugt dien-te Einheitswurzel
ζ:=e2πikn die GruppeCn?
Aufgabe H3.3 Gruppenhomomorphismus
Gegeben seien eine GruppeGund Elementeg,h∈G. Wann existiert ein Gruppenhomomorphismus φ:Z2→G mit φ(1, 0) =g und φ(0, 1) =h,
d.h. welche Bedingung müssen die beiden Elemente erfüllen ?
Aufgabe H3.4 Nebenklassen und Normalteiler
(a) SeiGeine endliche Gruppe mit|G|=peine Primzahl. Zeigen Sie, dassGzyklisch ist.
(b) SeiGeine Gruppe undH⊂Geine Untergruppe vom Index 2 (d.h.[G:H] =2). Zeigen Sie, dassHein Normalteiler vonGist.
(c)∗ Gilt dies auch, falls[G:H] =3ist?
Aufgabe H3.5 Freiwillige Zusatzaufgabe: Elemente der Ordnungp
Es seiGeine endliche Gruppe undpeine Primzahl.Ghabe genaunElemente der Ordnungp. Zeigen Sie, dass entwedern=0ist odern+1durchpteilbar ist.
Hinweis:Eine Möglichkeit besteht darin, dass Sie die MengeS={(a0, . . . ,ap−1)∈Gp:a0· · ·ap−1=1}betrachten und zeigen, dassSstabil ist unter zyklischen Permutationen. Dies liefert Ihnen eine Äquivalenzrelation aufS.
Hinweis:Die Hausaufgaben sind die mit dem Buchstaben “H” gekenzeichneten Aufgaben. Aufgaben, die mit einem ∗ gekennzeichnet sind, sind freiwillige Zusatzaufgaben. Die bearbeiteten Aufgaben werden am 26. bzw. 27.5. zu Beginn der Übungen abgegeben.Bitte versehen Sie jedes Blatt mit Ihrem Namen.
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