5.3 Überlagerung von Schwingungen
Kann ein Objekt mit mehreren Frequenzen gleichzeitig schwingen?
Ja - das ist sogar der Regelfall (z.B. Musikinstrumente: Obertöne)
a) Überlagerung zweier Schwingungen gleicher Frequenz (zur Vereinfachung: gleiche Amplitude)
b) Überlagerung zweier Schwingungen verschiedener Frequenz (zur Vereinfachung: gleiche Amplitude und Anfangsphasen 0)
cos 2 cos 2
2 ) (
cos 2 cos 2
2 ) ( ) ( ) (
) cos(
) (
) cos(
) (
2 1 2
1
2 1
2 1
2 1
2 2
1 1
t A
t x
t t
t A t
t x t x t x
t A
t x
t A
t x
t t
A t
x t x t x
t A
t x
t A
t x
cos 2 cos 2
2 ) ( ) ( ) (
) cos(
) (
) cos(
) (
2 1 2
1 2
1
2 2
1 1
Schwingung mit einer mittleren Frequenz, deren Amplitude moduliert ist (Schwebung), gilt für
1
2
Gleiche Frequenz, Phasenverschiebung,
Amplitude hängt von relativer Phase ab
c) Überlagerung mehrerer Schwingungen verschiedener Frequenz Eine periodische Funktion f(t) läßt sich als unendliche Summe
harmonischer Schwingungen darstellen:
( )
cos
0
1
t f t
n a
i
n
n
Die Fourier-Reihe konvergiert (normalerweise) gegen die Funktion f(t).
Die Periode von f(t) ist durch die niedrigste Frequenz gegeben.
2
1 T
n m
n dx m
nx mx
dx nx x
f a
n1
für 0
0 ) für
cos(
) cos(
weil )
cos(
) 1 (
Übliche Darstellungen der Fourier-Reihe:
- reelle oder komplexe Schreibweise - mit sin und cos oder sin/cos und Phase
- Summe von 0 bis unendlich oder von -∞ bis +∞
Wie erhält man die Fourier-Koeffizienten?
n n
n
n n
nx c
x f
nx b
nx a
a x
f
i exp )
(
sin 2 cos
) 1 (
1 0
Versuch: Zungenfrequenzmesser. Die Blattfedern
verschiedener Länge werden durch verschiedene
Frequenzen zu sichtbaren Schwingungen angeregt
3
Fourier-Synthese – Zusammensetzen einer periodischen Funktion aus harmonischen Schwingungen Fourier-Analyse – Zerlegen einer Funktion in harmonische Schwingungsanteile (Koeffizienten ermitteln) allgmeiner:
Fourier-Transformation – Wechsel zwischen Darstellungen im "Zeitbereich" (Funktion der Zeit, aber auch Ort, Winkel etc.) und
"Frequenzbereich" (Funktion der Frequenz, aber auch Energie. Wellenzahl etc. "Spektrum")
Auch nicht-periodische Funktionen lassen sich als Überlagerung von periodischen Funktionen darstellen.
Fourier-Integral:
f x xy dx f x g y xy dy
y
g ( ) exp( i )
2 ) 1 ( )
i exp(
) 2 (
) 1
(
Einige typische Geräte in der Experimentalphysik mit denen Schwingungen erzeugt und im Zeit- oder Frequenzbereich vermessen werden:
Funktionsgenerator:
erzeugt periodische Funktionen (Sinus, Rechteck, Sägezahn) mit variabler Amplitude und Frequenz
sowie ein periodisches digitales Signal (Trigger)
mit genormter Amplitude (typisch 5 V).
Oszillosgraf/Oszilloskop (auch "Oszi" oder "Scope" genannt) stellt (i.d.R. periodische) Signale als Funktion der Zeit dar.
Ein Startsignal (Trigger) legt den Nullpunkt der Zeitskala fest.
Traditionell: Elektronenstrahlröhre mit Ablenkplatten,
horizontale Ablenkplatte bewegt den Strahl von links nach rechts vertikale Ablenkplatte folgt dem darzustellenden Signal.
Neuere Geräte: Eingangssignal wird periodisch abgetastet, digitalisiert und grafisch dargestellt. Die Digitalisierung ermöglicht zahlreiche Funktionen (Arten der Darstellung, mathematische Operationen, Daten speichern etc) .
Der Trigger wird ausgelöst, wenn ein Eingangssignal oder ein weiteres Triggersignal (A,B,ext) eine
bestimmte Schwelle (trigger level) überschreitet. Wird die Schwelle nicht erreicht, kann ein Trigger trotzdem ausgelöst werden (auto-Funktion), um ein Signal zu finden.
Spektralanaysator oder FFT-Analysator:
stellt periodische Signale als Funktion der Frequenz dar.
Ein Spektralanalysator durchläuft nacheinander Bandpassfilter und stellt die Amplitude des gefilterten Signals dar. Am Output liegt ein Signal der Mittefrequenz des Filters an.
Ein FFT-Analysator tastet das Signal periodisch
ab und führt eine numerische Fourier-Transformation
5 5.4 Gekoppelte Oszillatoren
Ein schwingendes System übt in Abhängigkeit seiner Auslenkung eine Kraft auf ein oder mehrere benachbarte Systeme aus.
Beispiele:
- zwei Fadenpendel, mit einer Feder verbunden - miteinander verbundene Teile eines Autos
- Elektronenpakete in einem Speicherring, über el.mag. Felder gekoppelt - Bereiche einer ausgedehnten Flüssigkeit, eines Gases, eines Seils → Welle (ohne Kopplung benachbarter Oszillatoren keine Wellenausbreitung)
mit 2 )
2 (
mit 2
) (
2 ) (
) (
) (
) (
) (
) (
2 1 12
2 1 2 1 12 2
1 2
1
2 1 2
1
1 2 12 2
2
2 1 12 1
1
x u x
u D D
u m
x u x
u D u
m
x x D x
x D x
x m
x x D x
x m
x x D x D x
m
x x D x D x
m
m D
D t A
u
m D
t A
u
/ ) 2 (
) cos(
/ ) cos(
12 2
2 2 2
1
1 1 1
Lösungen:
Zwei gekoppelte ("sympatische") Pendel (Massen und Federkonstanten gleich)
2 sin 2
2 sin 2
2
2 cos 2
2 cos 2
2
2 1 2
1 2
1 2
1 2
2 1 2
1 2
1 2
1 1
t t
A u
u x
t t
A u
u x
Bewegung der beiden Oszillatoren für A 1 = A 2 :
Schwebung mit Periode
D D D mD D D D
D
m
D D
D D
m D
D D
T m
12 2
12 12
12 2 12
1
für /
/ 4 1
4
/ 2 1
4 2
4 4
Zwei mit einer Spiralfeder gekoppelte Fadenpendel
7
Normalschwingungen ("Moden") (Fundamentalmoden, Eigenmoden)
sind Schwingungsformen ohne Schwebung. Hier:
beide Pendel gleichphasig angeregt beide Pendel gegenphasig angeregt
Alle beliebigen Schwingungsformen können als Linear- kombinationen der Normalschwingungen dargestellt werden.
Systeme mit n Freiheitsgraden haben n Eigenmoden (i = 0...n-1). Die Phasendifferenz zwischen benachbarten Oszillatoren ist für n = 2 und Eigenmode i=1,2 gleich 0 und . Allgemein gilt:
