10.1 Fourier-Reihen
Periodische, quadratintegrierbare Funktionen
L
22π: 2π-periodische Funktionen f : R → C mit Z
π−π
| f (x) |
2dx < ∞
Skalarprodukt
h f, g i
2π= 1 2π
Z
π−π
f(x)g(x) dx
mit induzierter Norm k · k
2πf ∈ L
22πdurch glatte Funktionen approximierbar Orthogonalit¨ at von Kosinus und Sinus
Z
π−π
cos(jx) cos(kx) dx = Z
π−π
cos(jx) sin(`x) dx = Z
π−π
sin(jx) sin(kx) dx = 0 f¨ur j 6 = k und
Z
π−π
cos
2(kx) dx = Z
π−π
sin
2(kx) dx = π f¨ur k > 0
= ⇒
1 , cos(kx) , sin(kx) , k > 0 Orthogonalsystem in L
22πReelle Fourier-Reihe
f (x) ∼ a
02 + X
∞ k=1(a
kcos(kx) + b
ksin(kx)) mit
a
k= 1 π
Z
π−π
f (t) cos(kt) dt, k ≥ 0 ,
b
k= 1 π
Z
π−π
f (t) sin(kt) dt, k ≥ 1
151
Fourier-Reihen von geraden und ungeraden Funktionen
f gerade Kosinus-Reihe f (x) ∼ a
02 + X
∞ k=1a
kcos(kx), a
k= 2 π
Z
π0
f(t) cos(kt) dt, k ≥ 0 f ungerade Sinus-Reihe
f(x) ∼ X
∞ k=1b
ksin(kx), b
k= 2 π
Z
π0
f (t) sin(kt) dt, k ≥ 1
Fourier-Basis
Orthonormalbasis e
k(x) = e
ikxvon L
22πh e
j, e
ki
2π= 1
2π Z
π−π
e
j(x)e
k(x) dx = δ
j,k, j, k ∈ Z
Fourier-Reihe
f (x) ∼ X
k∈Z
c
ke
k(x), c
k= h f, e
ki
2π= 1 2π
Z
π−π
f (t)e
k(t) dt
Zusammenhang komplexer und reeller Fourier-Reihen
X
k∈Z
c
ke
ikx∼ f (x) ∼ a
02 + X
∞ k=1(a
kcos(kx) + b
ksin(kx)) Umrechnungsformeln
a
0= 2c
0, a
k= c
k+ c
−k, b
k= i(c
k− c
−k) bzw.
c
0= 1
2 a
0, c
k= 1
2 (a
k− ib
k) , c
−k= 1
2 (a
k+ ib
k) f reell ⇔ c
−k= c
kDifferentiation und Integration von Fourier-Reihen
d dx
X
k
d
ke
k(x) = X
k6=0
c
ke
k(x), c
k= (ik)d
kmit e
k(x) = e
ikxZ X
k6=0
c
ke
k(x) dx = d
0+ X
k6=0
d
ke
k(x), d
k= (ik)
−1c
k, d
0∈ R c
06 = 0 = ⇒ keine periodische Stammfunktion
152
Skalierung von Fourier-Reihen
f h-periodisch lineare Transformation auf [ − π, π]
alternativ: direkte Berechnung der Fourier-Koeffizienten komplexe Fourier-Reihe
f(x) ∼ X
k∈Z
c
ke
2πikx/h, c
k= 1 h
Z
h0
f(t)e
−2πikt/hdt
reelle Fourier-Reihe
f(x) ∼ a
02 + X
∞ k=1a
kcos(2πkx/h) + b
ksin(2πkx/h) mit
a
k= 2 h
Z
h0
f (t) cos(2πkt/h) dt, k ≥ 0 ,
b
k= 2 h
Z
h0
