Mathematik f¨ur Chemiker 2: online-Vorlesung 4.3) Differentialgleichungen: Variation der Konstanten

Mathematik f¨ ur Chemiker 2: online-Vorlesung

4.3) Differentialgleichungen: Variation der Konstanten

Bernd Hartke

Theoretische Chemie

Institut f¨ur Physikalische Chemie Christian-Albrechts-Universit¨at

Max-Eyth-Str. 2 24118 Kiel

hartke@pctc.uni-kiel.de

https://ravel.pctc.uni-kiel.de/

Lineare DGL 1. Ordnung

Eine gew¨ohnliche Differentialgleichung erster Ordnung

F(x, y, y⁰) = 0 (1)

ist linear, wenn sie sich umformen l¨aßt in

y⁰ + f(x) · y = g(x) (2)

• explizite Form (y⁰ isoliert)

• Position der Summanden relativ zum Gleichheitszeichen egal; y⁰ hat den Koeffizienten 1;

f(x) ist der Koeffizient von y; bei g(x) steht weder y⁰ noch y

• Linearit¨at in y; dagegen sind f(x) und g(x) beliebig (auch nicht-linear)

• nicht separierbar, wenn f(x) 6= 0 und g(x) 6= 0

• wenn g(x) = 0, heißt die DGL homogen; sonst inhomogen

• wie bei linearen Gleichungssystemen gilt:

y_ai = y_ah + y_pi (3)

Standardl¨osungsverfahren f¨ur lineare DGL 1. Ordnung

y⁰ + f(x) · y = g(x) , y_ai = y_ah + y_pi (4)

• allgemeine L¨osung der homogenen DGL: Separation der Variablen (bei g = 0 ist diese DGL auf jeden Fall separierbar!) → y_ah = C · y¯_ah, mit Integrationskonstante C

• spezielle L¨osung der inhomogenen DGL: Ansatz“Variation der Konstanten”

y_pi = C(x) · y¯_ah (5)

in die inhomogene DGL einsetzen und daraus C(x) bestimmen.

Dies l¨aßt sich f¨ur

y⁰ + f(x) · y = g(x) (6)

allgemein durchf¨uhren (s. Skript), mit diesem Ergebnis:

y_ai = e^{−R f(x)dx}

Z h

g(x) · e^{R f(x)dx}i

dx + C

(7) Im konkreten Anwendungsfall also

• entweder vorliegende f(x), g(x) in diese fertige Endformel einsetzen,

• oder die obigen L¨osungsschritte ausf¨uhren.

Beispiel lineare DGL 1. Ordnung

− y + y⁰ = x^x + y ln(x) ⇒ y⁰ − (ln(x) + 1)y = x^x (8)

• Diagnose: gew¨ohnliche, lineare DGL 1. Ordnung

• allgemeine L¨osung der homogenen DGL durch Separation:

y⁰ = (ln(x) + 1)y ⇒

Z dy y =

Z

(ln(x) + 1)dx (9)

ln(y) = xln(x) − x + x + ˜C ⇒ y_ah = Ce^xln(x) = Ce^(ln(x))x = Cx^x (10)

• spezielle L¨osung der inhomogenen DGL durch Variation der Konstanten: C → D(x). Ansatz y = D(x)x^x = D(x)e^xln(x) ⇒ y⁰ = D⁰(x)e^xln(x) + D(x)e^xln(x)(ln(x) + 1) (11) in die inhomogene DGL einsetzen:

D⁰(x) e^xln(x) + D(x)e^xln(x)(ln(x) + 1) − (ln(x) + 1) D(x)e^xln(x)

| {z }

=0

= e^xln(x) | : e^xln(x) (12)

D⁰(x) = 1 (13)

Separierbare, gew¨ohnliche DGL 1. Ordnung; Separation und Integration:

D⁰(x) = dD

dx = 1 ⇒

Z

dD = Z

dx (14)

D(x) = x + E mit Integrationskonstante E (15) Wir setzen E = 0, weil beliebige spezielle L¨osung gesucht. Daher:

y_pi = D(x)e^xln(x) = D(x)x^x = x x^x = x e^xln(x) (16)

Die allgemeine L¨osung der inhomogenen DGL lautet daher:

y_ai = y_ah + y_pi = Cx^x + x x^x = (x + C)x^x (17) (Dasselbe Resultat h¨atten wir mit E 6= 0 in Gl. 16 erhalten, ohne R¨uckgriff auf y_ai = y_ah +y_pi.)

Direktes Einsetzen in die analytische Endformel ist nicht deutlich einfacher:

y⁰ − (ln(x) + 1)y = x^x vgl. mit y⁰ + f(x)y = g(x) (18) f(x) = −(ln(x) + 1) , g(x) = x^x = e^xln(x) (19) Z

f(x)dx = − Z

(ln(x) + 1) dx = Z

ln(x)dx + Z

dx (20)

= x ln(x) − x + x + C = −xln(x) + C (21) y_ai = e^{−R f(x)dx}

Z h

g(x) · e^{R f(x)dx}i

dx + C

(22)

= e^xln(x) Z

e^xln(x)e^−xln(x)

| {z }

=e⁰=1

dx + C

(23)

= e^xln(x)(x + C) = x^x(x + C) (24)