8.4 Beugung
Licht wird an Kanten aus seiner ursprünglichen Richtung abgelenkt. Im Sinne des Huygensschen Prinzips kann man sich an einer Kante, einem Spalt etc. eine Kette von Oszillatoren vorstellen, die gleichphasig Teilwellen abstrahlen. Die Interferenz zwischen den Teilwellen führt dazu, dass unter Winkeln, die nach der geometrischen Optik nicht erreicht werden dürften, Intensitätsmaxima entstehen.
Ohne die räumliche Begrenzung würden die zusätzlich benachbarten Oszillatoren zu destruktiver Interferenz in andere als der Geradeausrichtung führen. Für benachbarte Oszillatoren im Abstand d ergibt sich ein Phasenunterschied für Emission unter dem Winkel q: q
2 sin
d
Betrachte N benachbarte Oszillatoren im Abstand d. Addition von N Teilwellen mit
1= 0 ergibt:
x x
N N
j j N
j
e e x N
i N
i
N N N
N
q q q q
i j N
i i 1
1 1
i 2 sin 1 mit 2
sin 1 sin 2 2
exp 1
2 i 1 2 exp
i 1 exp
i 2 2 exp
i i
exp
2 i 1 exp
i 2 exp
i exp 1 mit
weil 1 1
exp
1 i
1 exp i
exp
Intensität durch Quadrieren des elektrischen Felds:
q
sin
sin mit sin
sin
2 2 2 0 2
2
0
N d
x x N x I N
x I x
I
( geometrische Reihe )
( Bruch erweitern )
sog. Poisson-Fleck
Anwendung auf einen Spalt der Breite a = N∙d:
q
sin sin mit
2 2
a
x x I x I
SMinima für x = m∙:
Maxima:
) 3 , 2 , 1 (
sin m
m a q
0 2 und
sin q 1 q a
m Zentrales Maximum enthält
ca. 90% der Gesamtintensität
Anschauliche Deutung für das erste Minimum:
Wegunterschied zwischen Teilwelle j = 1 und j = N ist , d.h. es gibt destruktive Interferenz zwischen Teilwelle 1 und N/2+1, 2 und N/2+2 usw.
Doppelspalt (noch einmal)
Abstand der Spalte sei d. Bedingung für Maxima bei Winkeln q (s. letzte Vorlesung):
) , 2 , 1 , 0 (
sin m
m d q
Die endliche Breite a der Spalte bewirkt, dass das Interferenzmuster des Doppelspalts durch [ sin(x)/x ]
2moduliert wird.
(auch sinc
2genannt, sinus cardinalis)
Bilder: Giancoli
Beugung am Spalt
Beugung am Gitter
Der Abstand der Spalte sei wieder d. Bedingung für Maxima ist dieselbe wie beim Doppelspalt:
) , 2 , 1 , 0 (
sin m
m d q
Beim Gitter sind die Maxima jedoch wesentlich schärfer ausgeprägt, weil bei vielen Spalten kleine Weglängenunterschiede größere Auswinkungen haben. Angenommen, der Wegunterschied sei 1,01∙, was beim Doppelspalt kaum eine Bedeutung hat. Beim Gitter gibt es für eine solche Teilwelle eine andere Welle 50 Spalte weiter, mit der sie destruktiv interferiert.
Der Unterschied zwischen Doppelspalt und Gitter entspricht dem zwischen Zweistrahl-Interferenz an einer Platte und der Vielstrahlinterferenz des Fabry-Pérot-Interferometers.
Das zentrale Maximum heißt Maximum nullter Ordnung, die anderen sind die Hauptmaxima m-ter Ordnung. Zwischen ihnen liegen bei insgesamt N Spalten N-2 Nebenmaxima. Die Intensitätsverteilung ist:
2 2
2
2 2
sin sin
sin sin
sin sin sin
q
q
q
q
d d N a
a I
I
SDer erste Faktor ist die von einem Spalt durchgelassene Intensität, der zweite Faktor beschreibt die Modulation aufgrund der Spaltbreite a, der dritte Faktor beschreibt die N Spalte als N Oszillatoren mit Abstand d.
Hauptmaxima treten auf, wenn der Nenner des dritten Faktors null wird. Nebenmaxima treten auf, wenn
Beugung am Spalt mit variabler Öffnung
Beugung am Doppelspalt
Beugung am Gitter
Beugung an einem Kreuzgitter
Beugung an Lochblenden
Gitterspektrometer (Spektrografen)
Die Frequenz- bzw. Wellenlängenverteilung elektromagnetischer Strahlung heißt Spektrum. Das Studium solcher Spektren ist in vielen Bereichen der Physik von großer Bedeutung, weil Atome nur bei
bestimmten für sie charakteristischen Wellenlängen Licht aussenden. Aufgrund der schmalen Maxima eignet sich ein Gitter hervorragend, um Licht in seine spektralen Bestandteile zu zerlegen. Ein Prisma tut dies auch, doch ist der erreichbare Spektralbereich durch die Transmission durch das Glas und den
Brechungsindex sehr eingeschränkt.
Es gibt Transmissiongitter und Reflexionsgitter. Sie werden aus Drähten hergestellt, mechanisch in ein ebenes Substrat geritzt oder optisch hergestellt (holografisches Interferenzmuster auf Fotolack). Für sehr kurze Wellenlängen (Röntgenstrahlung) eignen sich Kristalle als Gitter.
Gitter können periodisch absorbieren (Amplitudengitter) oder den Brechungsindex ändern (Phasengitter).
Reflexionsgitter können als Sägezahn- oder Blazegitter hergestellt werden. Sie haben einen sägezahnartigen Querschnitt, mit dem die Intensität einer bestimmten Beugungsordnung optimiert werden kann
(Reflexionswinkel = Winkel des Interferenzmaximums).
Ein Spektrometer/graf zeichnet ein Spektrum auf, ein Monochromator filtert eine Wellenlänge aus einem Spektrum. Typische Detektoren: Auge, Film, CCD-Kamera, Fotodiode, Fotomultiplier.
Beispiel oben: Czerny-Turner-Spektrometer.
N m
d N m
d d
d
m d d d m
d
d N a
q
q q q
q q q
q
q
cos cos cos sin
cos
Auflösungsvermögen des Gitterspektrometers. Das Rayleigh-Kriterium besagt, dass das Beugungs- maximum für eine Ordnung m bei einer Wellenlänge mit dem Beugungsminimum der Wellenlänge
+ zusammenfallen soll:
(kann bei Monochromatoren für Synchrotronstrahlung in der Größenordnung von 100.000 liegen)
Monochromator bei PETRA III
Typisches Spektrometer.
Oben: Eintrittsspalt Links: drehbares Gitter Rechts: zwei Hohlspiegel Unten: Austrittsspalt und Detektor (Photomultiplier).
Versuch: Beugung an einer CD
tan q = 1,24 m / 3,10 m = 0,40 sin q = 0,39
Linienabstand:
d = 0,633 mm / 0,39 = 1,62 mm
Spektren der Quecksilber-Dampflampe.
Links: Schwerflintprisma. Rechts: Gitter 570 Linien/mm
Spektralapparat mit Prisma und Gitter
Röntgenbeugung: Bragg-Gleichung
Beugung von Röntgenstrahlung (insbesondere Synchrotronstrahlung) an Kristallen erzeugt ein Interferenz- muster, das von den Eigenschaften des Kristalls abhängt. Bragg-Bedingung:
2 sin
d
m
Beispiel: Beugungsbild eines Proteinkristalls und errechnete Struktur eines Ribosoms. Experimente u.a. bei DESY/Hamburg.
Fraunhofer- und Fresnel-Beugung
Bisher: Fraunhofer-Beugung, d.h. Beugungsmuster im Fernfeld (parallele Strahlen). Im Nahbereich (Abstand < b
2/) treten weitere Beugungserscheinungen auf (Fresnel-Beugung), z.B. bei der
Beugung an einer Kante:
Beugung an einer runden Blende
Bei der Beugung an einer kreisförmigen Blende mit Durchmesser D ist die Intensitätverteilung:
q
sin ) mit
(
2 2 1 0
x D x
x I J
I
Hier ist J
1eine Bessel-Funktion, die oft bei rotationssymmetrischen Randbedingungen auftritt (vgl. Übungsblatt 7, Aufgabe 1). Die erste Nullstelle liegt bei x = 1,22∙. Anwendung des Rayleigh-Kriteriums auf das Bild eines Sterns ergibt:
D D q
q q
q
22 , 1
sin sin
22 , 1
min
min min min
