VV(x,y,z,)t) → VV(x,y,z, → T=2X+Y T=2XY − λ−λ++ kk ...... λ+λ++ kk ...... Korrekturen von sinnstörenden Fehlern im Buch „Systemanalyse“ (1. Druck der 1. Auflage)

(1)

Korrekturen von sinnstörenden Fehlern im Buch „Systemanalyse“ (1. Druck der 1. Auflage)

Ort Fehler Korrektur

S.43 / 3. Absatz Reelle Systeme sind Reale Systeme sind

S.68 / Zeile 5 unter Bsp.4.12 Term 3 Term 1

S.88 / letzter und 2.letzter Absatz

Eigenwerte komplex.

komplexer Eigenwert

Eigenwerte nichtreell nichtreeller Eigenwert

S.95 / unterhalb Gl. (5.28) λ − λ

²

( k

_λ,1

+ k

_λ,2

) + ... λ + λ

²

( k

_λ,1

+ k

_λ,2

) + ...

S.107 / 5.1.6 Titel 4. unterste Zeile

mit komplexen Eigenwer...

komplexe Eigenwerte

mit nichtreellen Eigenw..

nichtreelle Eigenwerte

S.108 / letzte Zeile Fussnote Normalfall allgemeinen Fall

S.112 / 3. Zeile komplex nichtreell

S.114 / 5. unterste Zeile komplexe nichtreelle

S.127 / Randtext Natürliche Modelle Natürliche Systeme

S.134 / Abb.6.3 3 3

S.136 / 5. Zeile

(Nmax/2) erreicht. Für (Nmax/4) erreicht. Für

S.141 /Abb.6.7c) Achsenbeschriftung totale Phophorkonzentration totale Phosphorkonzentration

S.147 / 2. Absatz 8.unt.Zeile so wir wie es so wie wir es

S.149 / Titel Komplexe Eigenwerte Nichtreelle Eigenwerte

1. Zeile nach Titel Eigenwerte komplex Eigenwerte nichtreell 1. Zeile Fussnote 13 imaginäre nichtreelle

S.150 / Grafik d) e) f) komplex nichtreell

S.151 / 6. Zeile komplexen Werten nichtreellen Werten

S.176 / 5. Zeile nach Gl. (7.24) -> λ

1

= +0.822; λ

2

= -0.0.122 -> λ

1

= +0.822; λ

2

= -0.122 S.185 / Gl. (7.50) T

^(k)

= 2X

^(k)

+ Y

^(k)

T

^(k)

= 2X

^(k)

− Y

^(k)

S.186 / 7.2.3 erster Absatz, letzte Zeile

so musste die Wahl von Gleichung (7.47)

so musste die Wahl von Gleichung (7.50)

S.191 / Gl. (8.1) V

_{i i}

→ V (x, y, z, ) V

_{i i}

→ V (x, y, z, t)

S.204 / Zeile 5 von unten (C

_A

= 0) (C

_B

= 0)

S.251 / 8. Absatz 2001: The Scientif Basis 2001: The Scientific Basis

S. 252 / 6. Absatz Samuelson PA, Nordheim Samuelson PA, Nordhaus

S. 45/46/50 Beispiele 4.1 und 4.3 und S. 139 Abbildung 6.6 wurden neu gemacht

(2)

½

d^Î

dt = (Jp+kp^Î)−(Jv+kv^Î)

= (Jp−Jv) + (kp−kv)^Î

= J+k^Î

J=Jp−Jv k=kp−kv

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J=Jp= 500⁻¹

½

Î Î(t)

(3)

k=kp−kv = (0.2−0.4)⁻¹=−0.2⁻¹

dM

dt = 500⁻¹−(0.2⁻¹)M

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(5)

J

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"

J

f(^Î) =−k^Î+ϕ(V)

J ^!

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k^$^! ^#

J⁽⁾

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# −k^Î

−k^Î

Î Î

Î Î f(^Î) =−k^Î+ϕ(^Î)

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Î

∞1

Î

∞2

Î

∞3

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ϕ_◦

#

Î

∞

J J

J

Î

∞1

Î

∞3

Î

∞2

Î

Îkrit

$# f(^Î) ^#

(6)

Korrekturen von sinnstörenden Fehlern im Buch „Systemanalyse“ (3. Druck der 1. Auflage)

Ort Fehler Korrektur

S. 83 / Abb. 5.1

JA = Q CA in JA = Q C in

S. 117 / Abb. 5.12 Zahl in „Ozean-Oberfläche“: 800 900

S. 121 / Formel 5.85 Bei λ

i fehlen die Betragszeichen

min ( ׀

λ_i ׀ ≠ 0)

S.158 / Legende zu Abb. 6.17, 7. Zeile R = 2.5 r = 2.5

S.171 / 4. Zeile Klammer am falschen Ort

geschlossen

(7)

Zweidimensionale Modelle 83

Abb. 5.1:Lineare Reaktion in einem durchflossenen und vollständig durchmischten Reaktor.

in

im Reaktor sind:³ dMA

dt = QCin−kAMA+kBMB−QCA

dMB

dt = kAMA−kBMB−QCB (5.4)

Dividieren wir beide Gleichungen durch das konstante ReaktorvolumenV, erhalten wir analog zu Gleichung (4.22):

dCA

dt = kwCin−kACA+kBCB−kwCA

dCB

dt = kACA−kBCB−kwCB (5.5)

mitkw=Q/V,CA=MA/V undCB=MB/V.

Wir müssen die Gleichungen (5.5) nur noch etwas umschreiben, um sie mit (5.1) zu vergleichen und die dort eingeführten Parameter zu identifi- zieren:

dCA

dt = kwCin−(kA+kw)CA+kBCB

dCB

dt = kACA−(kB+kw)CB (5.6)

Also:

R1→kwCin, R2→0 p1,1→ −(kA+kw), p1,2→kB

p2,1→kA, p2,2→ −(kB+kw)

Wie wir sehen werden, spielt die Koeffizientenmatrix P eine zentrale Rolle bei der Lösung von linearen Differentialgleichungssystemen, dies üb- rigens nicht nur bei den zweidimensionalen, sondern erst recht bei den höher

3Streng genommen handelt es sich für Modelle, bei denen chemische Umwandlungs- prozesse involviert sind, um eine Atom-Bilanz. Die Konzentrationen sollten daher in molaren Einheiten ausgedrückt werden.

(8)

Mehrdimensionale Modelle 117

Das Modell soll für die Beantwortung der folgenden drei Fragen dienen:

1. Wie verläuft das KohlenstoffinventarMi(t)in den vier Boxen?

2. Wo wird langfristig der zusätzliche Kohlenstoff zu finden sein?

3. Wie lange dauert es, bis das System wieder im Gleichgewicht ist, falls keine weitere (anthropogene oder natürliche) Störung auftritt?

Abb. 5.12:Vereinfachtes globales Kohlenstoff-Modell mit den wichtigsten Austauschflüssen. Die Zahlen in den Boxen geben das Kohlenstoffinventar an (Einheiten10¹⁵g C), die Zahlen bei den Pfeilen die jährlichen Flüsse

(Einheiten10¹⁵g C a⁻¹), die Prozentzahlen den relativen Anteil der Box am gesamten

Kohlenstoffinventar des Modells. Die Situation entspricht etwa dem vorindustriellen

Stationärzustand. (Zahlen vereinfacht nach Moore et al. (1994)).

900

Wie kommen wir nun von dem statischen Bild in Abbildung 5.12 zu einem dynamischen Modell? An diesem Punkt müssen wir eine Annahme darüber treffen, wie die Flüsse Fi,j zwischen den Boxen auf die Verän- derungen der Stoffmenge in den Reservoirs reagieren. In der gewählten Schreibweise für die Flüsse bezieht sich der erste Index(i)auf die empfan- gende Box, der zweite Index(j)auf die Ursprungs-Box. Da wir ein lineares Modell konstruieren wollen, besteht die einfachste Möglichkeit darin, die Flüsse Fi,j als lineare Funktionen des Inhaltes Mj der Ursprungs-Box zu beschreiben. Schauen wir uns dazu zuerst die beiden Boxen „Atmosphäre“

und „Land“ an (Abb. 5.14):

(9)

Mehrdimensionale Modelle 121 Eigenwert null haben. Das Resultat einer numerischen Eigenwertberech- nung bestätigt diese Voraussage. Wir erhalten:

λ1 = −0.443a⁻¹ λ2 = −0.114a⁻¹ λ3 = −0.00971a⁻¹ λ4 = 0

Damit können wir die Anpassungszeit mit Gleichung (5.16) abschätzen:

τ5%≈ 3

min (|λi| 6= 0) = 3

0.00971a⁻¹ ≈310a (5.85) Natürlich ist dieses Kohlenstoff-Modell nicht sehr realistisch. Erstens haben wir die anthropogene Störung als zeitliche Singularität behandelt. Ab- bildung 5.13 zeigt aber, dass eine exponentiell wachsende Input-Funktion der Wirklichkeit näher käme. Eine zweite Vereinfachung besteht in der An- nahme, die Flüsse seien lineare Funktionen der Reservoir-Massen.

Dennoch illustriert das Modell wichtige Eigenschaften des Kohlenstoff- Kreislaufs, die auch komplexere Modelle und vor allem Beobachtungen be- stätigen. Die an sich im Vergleich zu den natürlichen Flüssen kleine anthropogene Störung hat nur deswegen (vorübergehend) eine große Wirkung in der Atmosphäre, weil die Störung auf das kleinste Reservoir einwirkt und dieses systemmäßig weit weg vom Hauptreservoir Tiefsee positioniert ist.

Geübte Systemanalytiker und -analytikerinnen sollten in der Lage sein, oh- ne explizite Rechnung nur schon aus der Betrachtung von Abbildung 5.12 qualitative Aussagen dieser Art machen zu können.

(10)

158 Nichtlineare Modelle Modell aber — im Gegensatz zum Lotka-Volterra-Modell — strukturell sta- bil ist. Neben dem trivialen (R=B= 0) und dem halbtrivialen Fixpunkt (R= 0, B=Bk), besitzt das Modell den nichttrivialen Fixpunkt(B^∞, R^∞), der sich aus dem Schnittpunkt einer Parabel und einer Geraden ergibt (Abb. 6.18).¹⁵ Die Parabel folgt aus Gleichung (6.46) mitdB/dt= 0:

R^∞= r

w(1−B^∞

Bk )(B^∞+KB) (6.48) Die Gerade folgt aus Gleichung (6.47) mitdR/dt= 0:

R^∞= B^∞

J (6.49)

Die Lösungen sind geschlossene Kurven um den Fixpunkt (B^∞, R^∞). Im Gegensatz zum Lotka-Volterra-Modell werden diese Kurven nicht durch den Anfangspunkt ein für alle Mal festgelegt. Vielmehr bewegen sich die Tra- jektorien auf eine „Attraktions-Kurve“ zu und folgen ihr dann (Abb. 6.17).

Eine solche Kurve nennt man einen Grenzzyklus. Ein Grenzzyklus ist also gleichsam ein „Kurven-Attraktor“ , von dem das System angezogen wird.

Abbildung 6.18 zeigt das Einschwingen der periodischen Schwankungen von B(t)undR(t)auf den Grenzzyklus.

Abb. 6.17:Numerische Lösung des Holling-Tanner Modells. Das System bewegt sich auf den Grenzzyklus zu.

Verwendete Parameter:

r= 2.5a⁻¹, s= 0.225a⁻¹, w= 5a⁻¹, Bk= 300, KB= 50, J=2.

Anfangsbedingungen:

B⁰= 50,R⁰= 60. ⁰⁰ ¹⁰ ²⁰ ³⁰ ⁴⁰ ⁵⁰

50 100 150 200 250

Zeit t [a]

Räuber R, Beute B

20 30 40 50 600

50 100 150 200 250

Beute B

Räuber R R(t)

B(t)

B^∞ R^∞

B^∞

R^∞

6.2.4 Das Verhalten von Modellen in der Nähe von Zentren

Wie wir bereits erwähnt haben, lässt sich das Verhalten eines nichtlinearen Systems in der Umgebung eines Zentrums mit der Methode der Lineari- sierungnicht eruieren. Folgendes Beispiel aus Arrowsmith u. Place (1992) soll diesen Sachverhalt demonstrieren.

15Die Stabilitätseigenschaften des halbtrivialen Fixpunktes sollen in Aufgabe 6.5 dis- kutiert werden.

(11)

Zeitdiskrete Modelle mit einer Variablen 171 Überprüfen wir, ob unsere Vermutung zutrifft, indem wir, mitV⁽⁰⁾≡V0

beginnend, Gleichung (7.8) mehrmals hintereinander anwenden:

V⁽¹⁾ = I+a0V0

V⁽²⁾ = I+a0V⁽¹⁾=I+a0(I+a0V0) =I(1 +a0) +a²₀V0

V⁽³⁾ = I+a0V⁽²⁾=. . .=I(1 +a0+a²₀) +a³₀V0

Daraus kann man bereits die allgemeine Regel erkennen:

V⁽ⁿ⁾=I·

n−1X

i=0

(a0)ⁱ+aⁿ₀V0 (7.11)

Mit der Formel zur Berechnung geometrischer Summen,

n−1X

i=0

(a0)ⁱ =aⁿ₀ −1

a0−1 (a06= 1) (7.12)

folgt schließlich (füra06= 1):⁴

V⁽ⁿ⁾=Iaⁿ₀ −1

a0−1 +aⁿ₀V0=− I

a0−1 +aⁿ₀( I

a0−1 +V0) (7.13) Falls |a0| < 1, d.h. −1 < a0 < 1 gilt, verschwindet der zweite Term in Gleichung (7.13) fürn−→ ∞, d.h.

V^∞= lim

n→∞V⁽ⁿ⁾=− I

a0−1, −1< a0<1 (7.14) Die in Gleichung (7.10) formulierte Vermutung stimmt also nur bezüglich deroberen Grenze von a0 (a0<1); tatsächlich darfa0 auch nicht zu klein werden, sonst oszilliert das System zwischen immer größer werdenden posi- tiven bzw. negativen Werten hin und her. Abbildung 7.1 fasst die verschie- denen Fälle zusammen. Zum Schluss möchten wir darauf hinweisen, dass man, ähnlich wie im Fall einer inhomogenen linearen Differentialgleichung, Gleichung (7.8) durch das Einführen einer neuen Variable in eine homo- gene Differenzengleichung hätte verwandeln können, um sie dann gemäß Gleichung (7.5) zu lösen (s. Aufgabe 7.1).

4Füra0= 1ergibt sich direkt aus (7.11):V⁽ⁿ⁾=nI+V0