Teilung einer Strecke Teilung einer Strecke
Gegeben ist eine Strecke AB mit A(x A |x B ) und B(x B |y B ).
Gesucht ist ein Teilungspunkt T(x T ,y T ) so, dass der Punkt T die Strecke AB im Verhältnis λ 1:2 teilt.
T
A 1 2 B
2 also 1
ist hier
TB
AT = λ ⋅ ⇒ λ =
TB 2 also AT
heißt 2
und 2
1 TB
also AT heißt
2
1 = λ = =
= λ
OBB 2004 Ma 11 - Teilung einer Strecke 1
Wie lassen sich die Koordinaten von T berechnen ?
Übungsaufgaben
Berechnung der Koordinaten des Teilungspunktes Berechnung der Koordinaten des Teilungspunktes
AB x x
AT x
x
T A B−
A− =
TB AT
x x
AT x
x
T A B A+
= −
−
TB TB
x x
TB x
x
T A B A+
⋅ λ
= −
⋅ λ
−
A A
T B
TB x
TB TB
x
x x ⎟⎟ ⎠ ⋅ λ ⋅ +
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
+
⋅ λ
= −
A A
T B
x
1 x
x x ⎟⎟ ⎠ ⋅ λ +
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
λ +
= − y B B
T y T
y A
A
x A x T x B
λ +
⋅ λ + +
⎟⎟ ⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
λ +
⋅ λ
−
⋅
= λ
1
x x
1
x
x
Tx
B A A AGeg.: A, B, λ
Ges.: T
( -1 )
1
x
x T x A B λ ≠ λ
+
⋅ λ
= +
Hilfsmittel: Strahlensatz
OBB 2004 Ma 11 - Teilung einer Strecke 2
Hausaufgabe Hausaufgabe
1. 1. Wie lautet die Formel für x Wie lautet die Formel für x T T , wenn T der Mittelpunkt einer Strecke AB ist ? , wenn T der Mittelpunkt einer Strecke AB ist ?
2. 2. In welchem Verhältnis teilt der Punkt P(2|3) die Strecke AB, wenn A( In welchem Verhältnis teilt der Punkt P(2|3) die Strecke AB, wen n A(- -1|3) 1|3) und B(5|3) sind.
und B(5|3) sind.
3. 3. Versuche durch das Rechnen von Beispielen herauszubekommen, was Versuche durch das Rechnen von Beispielen herauszubekommen, was passiert, wenn
passiert, wenn λ λ <0 ist. <0 ist.
4. 4. Was versteht man unter dem „Goldenen Schnitt“ ? Welche Rolle spielt er in Was versteht man unter dem „Goldenen Schnitt“ ? Welche Rolle spi elt er in der Praxis ?
der Praxis ?
5. 5. Leite analog zu der Herleitung für x Leite analog zu der Herleitung für x T T eine Formel für y eine Formel für y T T her. her.
OBB 2004 Ma 11 - Teilung einer Strecke 3
ÜBUNGSAUFGABEN – Teilung einer Strecke Gegeben sind die Punkte A(-4|1), B(2|-0,5) und C(1|4).
1)
a) Ein Punkt wandert ...
a1) Berechne die Koordinaten eines Punktes P1(xP1|yP1) so, dass P1 die Strecke AC im Verhältnis λ1=2 teilt.
a2) Berechne die Koordinaten eines Punktes P2(xP2|yP2) so, dass P2 die Strecke AC im Verhältnis λ2=3 teilt.
a3) Berechne die Koordinaten eines Punktes P3(xP3|yP3) so, dass P3 die Strecke AC im Verhältnis λ3=4 teilt.
a4) Berechne die Koordinaten eines Punktes Pk(xPk|yPk) so, dass Pk die Strecke AC im Verhältnis λk=k+1 teilt. (k∈N) a5) Was passiert mit Pk(xPk|yPk), wenn k immer größer wird (k →∞).
a6) Was passiert mit Pk(xPk|yPk), wenn k immer kleiner wird (k →0).
2) In welchem Verhältnis teilt der Koordinatenursprung die Strecke AB? Darf man hier einfach „drauf-los-rechnen“ ? Begründe deine Antwort.
3) a) Berechne die Längen aller Seitenhalbierenden des Dreiecks ACD.
Hinweis: Informiere dich ggf. in der Formelsammlung über die Definition einer Seitenhalbierenden.
b) Berechne die Koordinaten des Punktes S(xS|yS), der die Seitenhalbierende der Seite a der Dreiecks ABC im Verhältnis λ=2
1 teilt.
c) Welchen Abstand hat S von den Eckpunkten des Dreiecks ? d) Was folgt aus der Rechnung bei c) für S ?
4) Ein Einfamilienhaus soll gebaut werden. Der Grundriss ist ein 13m langes und 8m breites Rechteck. Die 2m breite Haustür soll an der längeren Seite so einbaut werden, dass die Mitte der Tür diese Seite im „Goldenen Schnitt“ teilt. Wo muss das
„Loch“ für die Tür gelassen werden ?
