Theoretishe Physik A WS 2000/01
Prof. Dr. J.Kuhn / Dr. W.Kilian Blatt 14 2. 2.2001
Losungsvorshlage
1. ErzwungeneShwingungen (8Punkte)
Dieallgemeine Losung ist jeweils
x(t)=Aos!t+Bsin!t+x
p
(t): (1)
Bestimmung der partikularen Losungx
p (t):
(a) Ansatz x(t)=e bt
x+!
2
x=e bt
(b 2
+! 2
)
!
=ae bt
Es folgt
= a
b 2
+! 2
(b) Hier liegt der Resonanzfall vor; mitdem Ansatz x(t)=btsin!t erhalten wir
x+!
2
x=2b!os!t b!
2
sin!t+b!
2
sin!t
!
=aos!t
also
b = a
2!
() Mit dem Ansatz x(t)=bos 2
!t erhalten wir x (t)_ = 2b!sin!tos!t und
x+!
2
x=2b!
2
( os 2
!t+sin 2
!t)+b!
2
os 2
!t= 3b!
2
os 2
!t+2b!
2
Hier stortnoh der Term 2b!
2
, wir konnen aber den Ansatz leiht zu
x(t)=bos 2
!t+
erweitern und erhalten als Losung
b = a
3!
2
und = 2b
Alternativ hatten wir das Problem auhmit Hilfe von
os 2
!t = 1
2 +
1
2
os2!t (2)
(d) Mit dem Ansatz f(t)=t +dt +et+f erhalten wir
x+!
2
x=! 2
t 3
+d!
2
t 2
+(e!
2
+6)t+(f! 2
+2d)=at 3
+bt 2
Die KoeÆzienten sind also
= a
! 2
; d= b
! 2
; e = 6
! 2
; f = 2 d
! 2
: (3)
2. Partikulare Losung (6 Punkte)
(a)
d 2
dt 2
x+! 2
x=
d
dt +i!
d
dt i!
x=f(t)
also
d
dt
x i!x=y(t)
d
dt
y+i!y=f(t)
Eine Losung der homogenen Gleihung y_ +i!y = 0 ist y = e i!t
. Der Ansatz
y(t)=u(t)e i!t
fuhrt auf
e i!t
_
u=f(t)
also
u(t)= Z
t
dt 0
e i!t
0
f(t 0
)
und damit
y(t)=e i!t
u(t)= Z
t
dt 0
e i!(t t
0
)
f(t 0
)
Die DGL fury(t) lost mandann analog
x(t)=e i!t
y(t)= Z
t
dt 0
e i!(t t
0
)
y(t 0
)
und Einsetzen liefert
Z
t
0 i!(t t 0
) Z
t 0
00 i!(t 0
t 00
) 00
!
x(t)=a Z
t
dt 0
e i!(t t
0
) Z
t 0
dt 00
te i!(t
0
t 00
)
!
=a Z
t
dt 0
e i!(t t
0
)
e i!t
0 1
! 2
e i!t
0
(i!t 0
1)
= a
! 2
e i!t
Z
t
dt 0
e i!t
0
(i!t 0
1)
= a
! 2
e i!t
i!
! 2
e i!t
( i!t 1) 1
i!
e i!t
= a
! 2
t
Dies ist oensihtliheine Losung von
x+!
2
x=at:
3. Theta-Funktion (6 Punkte)
(a) u(x)=(x a)(b x)
Wenn x < a oder x > b ist, ist jeweils ein Faktor Null. Dazwishen sind beide
gleih 1.
(b) u(x)=(x a) (x b)
Furx<a sind beide SummandenNull, furx >b sind beide gleih 1.Dazwishen
ist nur der erste gleih1.
() u(x)=( b a
2 jx
b+a
2 j)
Die Funktion ist gleih Eins, solangeder Abstand vomMittelwert b+a
2
kleiner als
die halbeDierenz b a
bleibt.
