MK 18.2.2004 PolBspVielfach6.mcd
Ein Beispiel für die Vielfachheit von Nullstellen bei Polynomen (6)
Bestimme das Grenzverhalten, die Nullstellen und ihre Vielfacheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter r und skizziere grundsätzlich die Funktion für r = 1
f r x( , ) 1
4⋅x5 5 4⋅x4
− 1
4 ⋅r2⋅x3
− +2 x⋅ 3 5
4 ⋅r2⋅x2
+ −x2−2r2⋅x+r2 :=
2 1 0 1 2 3
1 0.5 0.5 1 1.5 2
f 1 x( , )
x SP bei 1, -r, r, BP bei 2
=>
weder noch (3) falls
SP bei -2, 1, SP (3-fach) bei 2
=>
r=±±2±± (2) falls
SP bei -1, BP bei 1, 2
=>
r=±±1±± (1) falls
f r x( , ) faktor 1
4⋅(x−1)⋅(x−2)2⋅(x−r)⋅(x+ r)
→
x5=r x4=−r
Bestimme das Grenzverhalten, die Nullstellen und ihre Vielfacheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter r und skizziere grundsätzlich die Funktion für r = 1
f r x( , ) 1
4⋅x5 5 4⋅x4
− 1
4 ⋅r2⋅x3
− +2 x⋅ 3 5
4 ⋅r2⋅x2
+ −x2−2r2⋅x+r2 :=
x ---> -∞∞∞∞ x ---> ∞∞∞∞ GV: f(x) ---> ∞∞∞∞ f(x) ---> ∞∞∞∞
x1=1 1
4 ⋅x5 5 4⋅x4
− 1
4⋅r2⋅x3
− + 2 x⋅ 3 5
4⋅r2⋅x2
+ −x2−2 r⋅ 2⋅x+ r2
x−1
1
4⋅x4−x3 1
4⋅r2⋅x2
− +x2+r2⋅x−r2
=
x2=2 1
4 ⋅x4−x3 1
4 ⋅r2⋅x2
− + x2+ r2⋅x−r2
x−2
1
4 ⋅x3 1 2 ⋅x2
− 1
4⋅r2⋅x
− 1
2⋅r2
= +
x3=2 1
4 ⋅x3 1 2 ⋅x2
− 1
4⋅r2⋅x
− 1
2⋅r2 + x−2
1
4 ⋅x2 1 4 ⋅r2
= −
1
4⋅x2 1 4 ⋅r2
− =0 => x2=r2 =>
