MK 23.3.2009 PolBspVielfach9.mcd
Ein Beispiel für die Vielfachheit von Nullstellen bei Polynomen (9)
Bestimmen Sie die Nullstellen und ihre Vielfachheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter k und skizzieren Sie grundsätzlich die Funktion für k = 2
PolBspVielfach9.gxt f k x( , ) 1
3⋅x4 k 3 −3
x+ 2−3k
:=
Die Funktion ist übrigens achsensymmetrisch zur Ordinate, unabhängig von k (4) falls k<0∧k≠ −9 => SP bei − −k, SP bei −k, SP bei -3 und SP bei 3 (3) falls −9=k => BP bei -3 und BP bei 3
(2) falls 0=k => BP bei 0, SP bei -3 und SP bei 3 (1) falls 0<k => SP bei -3 und SP bei 3, sonst nix!
Linearfaktorzerlegung f k x( , ) 1
3⋅
(
x2+ k)
⋅(x+ 3)⋅(x−3)=> :=
x3=−3 und x4=3 x1=− −k und x2= −k falls k<0
Rücksubstitution: x = + - u
u2 1 3
k 6
− k
2 1 3
−
+
2 1
⋅ 3
= =9
u1
3 k 3
− k
3
− +3
2 1
⋅ 3
= =−k
D k( ) k 3 +3
2
= D k( ) faktor 1
9⋅(k+ 9)2
→ D k( ) 3 k
− 3
2 4 1
⋅ 3 ⋅(−3k)
− vereinfachen 9+ 2 k⋅ 1 9⋅k2 +
→ :=
1
3u2 1 3 ⋅k−3
⋅u+ −3 k⋅ =0
Substituiere x2=u
"Biquadratische Gleichung"
f k x( , )=0 1
3⋅x4 1 3 ⋅k−3
x⋅ 2−3 k⋅
+ =0
→
Bestimmen Sie die Nullstellen und ihre Vielfachheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter k und skizzieren Sie grundsätzlich die Funktion für k = 2
4 3 2 1 0 1 2 3 4
20 10 10 20 30 40
f 2 x( , )
x