FK 25.03.2009 PolBspVielfach11.mcd
Ein Beispiel für die Vielfachheit von Nullstellen bei Polynomen (11)
Bestimmen Sie die Nullstellen und ihre Vielfachheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter k und skizzieren Sie grundsätzlich die Funktion für k = -2
PolBspVielfach11.gxt f k x( , ) x3 3
2⋅x2
− −x 3
2
+ −k x⋅ 2 1 2⋅k⋅x
+ 3
2k + :=
(5) falls −2<k 1 2
< => SP bei -1 und SP bei 1.5 sowie SP bei −1<x 3 2
<
(4) falls 1
2 <k => SP bei -1 und SP bei 1.5 sowie SP bei3 2 <x (3) falls k<−2 => SP bei -1 und SP bei 1.5 sowie SP beix<−1 (2) falls k=0,5 => BP (2-fach) bei 1.5, SP bei -1
(1) falls k=−2 => BP (2-fach) bei -1, SP bei 1.5
Linearfaktorzerlegung f k x( , ) (x+1) x 3
2
−
⋅
⋅(x−k−1)=> :=
x2−k x⋅ 5 2 ⋅x
− 3
2⋅k
+ 3
2
+ =0 auflösen x,
3 2 k+ 1
→ x2( )k
k 5 2
+ k 1
2
−
+
2 →k+1
x1 :=
k 5 2
+ k 1
2
−
−
2
3 2
→ :=
D k( ) k 1 2
−
2
= D k( ) k 5
2 +
2
4 3 2k 3
2 +
⋅
− vereinfachen k2−k 1 4 +
→ :=
c = 1,5k + 1,5 b = - (2,5 + k)
a = 1
Berechnung der restlichen Nullstellen (z. B. mit Hilfe der "Mitternachtsformel"):
x3 3 2⋅x2
− −x
3 2
+ −k x⋅ 2 1 2 ⋅k⋅x +
3 2k +
x+ 1
vereinfachen x2−x k⋅ 5 2⋅x
− 3
2 ⋅k
+ 3
2 +
→ Polynomdivision:
Nullstelle durch Erraten: x = -1 f k x( , )=0 x3 3
2⋅x2
− −x 3
2 −x2⋅k
+ 1
2⋅x⋅k
+ 3
2 ⋅k
+ =0
→
Bestimmen Sie die Nullstellen und ihre Vielfachheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter k und skizzieren Sie grundsätzlich die Funktion für k = -2
4 3 2 1 0 1 2 3 4
4 2 2 4
f(−2,x)
x
