Ein Beispiel für die Vielfachheit von Nullstellen bei Polynomen (10)Bestimmen Sie die Nullstellen und ihre Vielfachheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter k und skizzieren Sie grundsätzlich die Funktion für k = 2

MK 23.3.2009 PolBspVielfach10.mcd

Ein Beispiel für die Vielfachheit von Nullstellen bei Polynomen (10)

Bestimmen Sie die Nullstellen und ihre Vielfachheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter k und skizzieren Sie grundsätzlich die Funktion für k = 2

PolBspVielfach10.gxt f k x( , ):= x⁶−(k+ 6)⋅x⁴+(4k+ 8)⋅x²

Die Funktion ist übrigens achsensymmetrisch zur Ordinate, unabhängig von k

(4) falls −2<k∧k≠ 2 => BP bei 0 SP bei − k+2, SP bei k+ 2, SP bei -2 und SP bei 2 (3) falls k=2 => BP bei 0, BP bei -2 und BP bei 2

(2) falls k=−2 => BP (4-fach) bei 0, SP bei -2 und SP bei 2 (1) falls k<−2 => BP bei 0, SP bei -2 und SP bei 2

Linearfaktorzerlegung f k x( , ):= x²⋅

(

)

(

)

=>

x1=− k+ 2 und x2= k+ 2 falls −2<k x3=−2 und x4=2

Rücksubstitution: x = + - u

u₂ k+ 6+(k−2) 2 1⋅

= =k+2

u₁ k+ 6−(k−2) 2 1⋅

= =4

D k( ) faktor → (k−2)²

D k( ):= (k+ 6)²−4 1⋅ ⋅(4 k⋅ +8) vereinfachen → k²−4 k⋅ +4 u²−(k+ 6)⋅u+ 4 k⋅ + 8=0

Substituiere x²=u

"Biquadratische Gleichung"

x⁴−(k+ 6)⋅x²+4 k⋅ +8=0 Übrig bleibt:

=> x12=0 x^2⋅





Man kann x² ausklammern:

f k x( , )=0→x⁶−(k+ 6)⋅x⁴+(4 k⋅ + 8)⋅x²=0

Bestimmen Sie die Nullstellen und ihre Vielfachheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter k und skizzieren Sie grundsätzlich die Funktion für k = 2

3 2 1 0 1 2 3 2

4 6 8 10

f 2 x( , )

x