2. Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Nullstellen, Lücken und Polstellen

Prof. Dr. Eckhard Liebscher Wintersemester 21/22 Fachgruppe Mathematik

Aufgabenserie 8 zur Vorlesung ”Mathematik für Betriebswirte”

1. Ein Sparer zahlt jeweils am 1.1. eines Jahres den Betrag von 2000 Euro in einen Fonds ein. Das Geld wird mit einem Zinssatz von 7% jährlich verzinst. Wie großist der aktuelle Wert des eingezahlten Kapitals zum Beginn des 8. Jahres nach Einzahlen des ersten Betrages (8 Einzahlungen)?

2. Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Nullstellen, Lücken und Polstellen

f (x) = x ³ + 7x ² + 14x + 8 x ² + 3x 4 :

Bestimmen Sie auß erdem die Asymptote der Funktion und die Grenzwerte lim _{x !1} f(x), lim x ! 1 f(x). An welchen Stellen ist die Funktion unstetig?

Hinweis: x ³ + 7x ² + 14x + 8 = (x + 1) (x ² + 6x + 8)

3. Bestimmen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

a) f (x) = x ²⁼³ x ⁷ + 4x ¹⁼⁴ ; b) f(x) = 3

p x + 2x ³ ln x;

c) f (x) = 3x ⁵ (1 sin x) ; d) f(x) = e ^x + x

x 1 ; e) f(x) = x ⁴ + 4x 1 x + 1 ; f ) f (x) = x ⁴ (e ^x + x) ; g) f (x) = p

1 ln(x); h) f(x) = sin x ⁴ ; i) f (x) = e ^x

^x ; k) f(x) = x sin(3x + 1); l) f (x) = 1

x e ^{p x} ; m) f (x) = ln (e ^x + 1) :

4. Bestimmen Sie die Extremstellen (inklusive Art der Extremstelle) des Polynoms f (x) = x ³ + 3x ² 9x 1:

Welchen Grad hat das Polynom? An welchen Stellen ist die Funktion unstetig?

5. Betrachten Sie die Wachstumsfunktion

f(x) = 8e ^0:3x für x 1,

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die die zeitliche Entwicklung des Produktionvolumens eines Wirtschaftssektors in Geldein- heiten (GE) in einer Region beschreibt. Die Variable x gibt die Zeit an.

a) Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen der Funktion. Ist die Funktion konvex oder konkav?

b) Zum Zeitpunkt x = 20 interessiert man sich dafür, welche Wachstumsprognose (Än- derung des Produktionsvolumens) näherungsweise für die nächsten t Zeiteinheiten unter Verwendung der Ableitung von f(x) gegeben werden kann. Notieren Sie dafür eine Formel.

Vergleichen Sie die Prognoseformel für x = 20 und x = 30, wobei speziell t = 1 ange- setzt werden kann.

c) Man betrachte die allgemeine Wachstumsfunktion f (x) = a e ^bx

für das Produktionsvolumen und bestimme die Parameter a; b so, dass zur Zeit 0 ein Volumen von 20GE und zur Zeit 10 ein Volumen von 30GE vorliegt.

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