MK 18.2.2004 PolBspVielfach4.mcd
Ein Beispiel für die Vielfachheit von Nullstellen bei Polynomen (4)
Bestimme das Grenzverhalten, die Nullstellen und ihre Vielfacheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter p und skizziere grundsätzlich die Funktion für p = 4
f p x( , ) x4 1 2⋅x3⋅p
− −3 x⋅ 2 3
2 ⋅x⋅p
+ + 2 x⋅ −p :=
3 2 1 0 1 2 3
15 10 5 5
f 4 x( , )
x
p 2 SP bei -2, BP bei 1, SP bei
=>
p 2 ≠1 p und
2 ≠−2 (3) falls
SP bei -2, SP(3-fach!) bei 1
=>
p=2
( )
p 2 =1 (2) falls
BP bei -2, BP bei 1
=>
p=−4
( )
Bestimme das Grenzverhalten, die Nullstellen und ihre Vielfacheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter p und skizziere grundsätzlich die Funktion für p = 4
x ---> -∞∞∞∞ x ---> ∞∞∞∞ f p x( , ) x4 1
2⋅x3⋅p
− −3 x⋅ 2 3
2 ⋅x⋅p
+ + 2 x⋅ −p
:= f(x) ---> ∞∞∞∞ f(x) ---> ∞∞∞∞
x1=1 x4 1
2⋅x3⋅p
− −3 x⋅ 2 3
2 ⋅x⋅p
+ + 2 x⋅ −p
x−1 vereinfachen x3 1
2⋅x2⋅p
− x2−2 x⋅ 1
2⋅x⋅p
−
+ +p
→
x2=1 x3 1
2⋅x2⋅p
− +x2−2 x⋅ 1 2⋅x⋅p
− +p
x−1 vereinfachen x2 2 x⋅ 1 2⋅x⋅p
− −p
+
→
D p( ) 2 p
− 2
2
4⋅(−p)
− vereinfachen faktor
1
4⋅(p+ 4)2
→
:= x3=−2 x4 p
= 2
=> f p x( , ) (x+2)⋅(x−1)2 x p
− 2
⋅
:=
(1) falls p 2 =−2
