MK 23.3.2009 PolBspVielfach7.mcd
Ein Beispiel für die Vielfachheit von Nullstellen bei Polynomen (7)
Bestimmen Sie das Grenzverhalten, die Nullstellen und ihre Vielfachheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter p und skizzieren Sie grundsätzlich die Funktion für p = 0
PolBspVielfach7.gxt f p x( , ):= −x4+x3⋅p+x3−x2⋅p+8 x⋅ 2−8 x⋅ ⋅p−12 x⋅ + 12 p⋅
4 3 2 1 0 1 2 3
10 10 20 30 40
f 0 x( , )
x
SP bei -3, BP bei 2, SP bei p
=>
p 2 ≠1 p und
2 ≠−2 (3) falls
SP bei -3, SP(3-fach!) bei 2
=>
p=2 (2) falls
BP bei -3, BP bei 2
=>
p=−3 (1) falls
Linearfaktorzerlegung
Bestimmen Sie das Grenzverhalten, die Nullstellen und ihre Vielfachheiten in Abhängigkeit vom reellen Parameter p und skizzieren Sie grundsätzlich die Funktion für p = 0
f p x( , ):= −x4+x3⋅p+x3−x2⋅p+8 x⋅ 2−8 x⋅ ⋅p−12 x⋅ + 12 p⋅
x ---> -∞∞∞∞ x ---> ∞∞∞∞
f(x) ---> −∞∞∞∞ f(x) ---> −∞∞∞∞
x1=2 f1 p x( , ) −x4+ x3⋅p+ x3−x2⋅p+8 x⋅ 2−8 x⋅ ⋅p−12 x⋅ +12 p⋅ x−2
:=
f1 p x( , ) vereinfachen →−x3+x2⋅p−x2+ 6 x⋅ + x p⋅ −6 p⋅
x2=2 −x3+ x2⋅p−x2+6 x⋅ +x p⋅ −6 p⋅ x−2
vereinfachen → −x2−3 x⋅ +x p⋅ +3 p⋅
D p( ) (3−p)2−4⋅(−1)⋅3⋅p
vereinfachen
faktor →(p+3)2 :=
x3 3−p−(p+ 3) 2⋅(−1)
= =p x4 3−p+(p+ 3) 2⋅(−1)
= =−3
=> f p x( , ):= −(x+3)⋅(x−2)2⋅(x−p)
