Umsetzung in der Fortbildung

Mit den folgenden Zielformulierungen werden grundlegende fachwissenschaft-liche Vorgaben der Bildungsstandards für eine Fortbildung in Mathematik für Lehrpersonen an Grundschulen, einschlieÿlich fachfremd Unterrichtender, auf-gegrien (vgl. Küttig & Sauer, 2011; Neubert, 2012; Eichler & Vogel, 2012).

Mit den Zielformulierungen werden den Teilnehmenden Orientierungen gege-ben, was Lehrpersonen können sollten, um Stochastik propädeutisch in der Grundschule erfolgreich unterrichten zu können.

Statistik

In der Statistik liegt der inhaltliche Schwerpunkt in der Grundschule auf der beschreibenden Statistik. Die Lernziele für die Fortbildung werden in Form von Kompetenzerwartungen aus der Sicht der Lehrperson formuliert. Für die Statistik lauten sie:

• Ich kann Datenerhebungen planen und durchführen.

• Ich kann Daten grasch darstellen.

• Ich kann arithmetisches Mittel, Modalwert, Median, Spannweite inter-pretieren, ermitteln und angemessen einsetzen.

• Ich kann vorliegende Diagramme lesen, interpretieren und typische Fehler in graschen Darstellungen erkennen.

In dieser Fortbildung werden bewusst inhaltliche Schwerpunkte ausgewählt, die in der Umsetzung beispielhaft ein Durchlaufen eines Daten-Analyse-Prozesses veranschaulichen und Strategien des empirischen Arbeitens nutzen (vgl. Wild

& Pfannkuch, 1999). Die Teilnehmenden planen eine Datenerhebung in Bezug zur Gruppe und führen sie durch. Diese Arbeitsphase gibt einen Einblick in die Vorkenntnisse und Vorerfahrungen der Teilnehmenden und liefert Daten-material, das im weiteren Arbeitsprozess genutzt werden kann. Das Arbeiten wird in Bezug auf Planung und Durchführung einer Datenerhebung zielbezo-gen reektiert und ein zusammenfassender bzw. ergänzender Input gegeben, um wesentliche und zentrale Ideen hervorzuheben.

Im Weiteren erschlieÿen sich die Teilnehmenden den Informationswert von Da-ten selbst und ermitteln Kennwerte zu ihrer DaDa-tenerhebung. Der Schwerpunkt liegt auf der Ermittlung statistisch sinnvoller Kennwerte, die in der Grund-schule thematisiert werden können: Minimum/Maximum, arithmetisches Mit-tel, Modalwert, Median, Spannweite, Streuung. Neben diesen Fachbegrien ist auch auf den Gebrauch von üblichen umgangssprachlichen Bezeichnungen ein-zugehen, die von den Kindern für die Beschreibung von Kenngröÿen genutzt werden können. Dabei ist es unerlässlich, die Bedeutung von stochastischen Be-grien, wie z. B. wahrscheinlich in der Umgangssprache zu klären und Grenzen und Probleme bei der Verwendung aufzuzeigen.

Die Teilnehmenden kennen in der Regel nur den Algorithmus zur Ermittlung des arithmetischen Mittels (Mittelwert). Es wird auf weitere Verfahren (Umsta-peln, Ausgleichen) eingegangen, um ein inhaltliches Verständnis von arithme-tischem Mittel auch bei Grundschulkindern zu erreichen, insbesondere vor der Einführung des Algorithmus. Mitte und Median sind keine traditionellen In-halte von Grundschullehrwerken. Es wird davon ausgegangen, dass die Begrie der Mehrzahl der Lehrkräften nicht bekannt sind. Es werden die Möglichkeiten und Grenzen der Interpretation von Daten mithilfe von arithmetischem Mittel und Median erläutert. In diesem Zusammenhang wird die übliche Praxis der Ermittlung von Notendurchschnitten kritisch hinterfragt und die Nutzung des Medians für eine auch pädagogisch sinnvollere Interpretation einer Notenüber-sicht diskutiert.

Beispielhaft werden Darstellungen von Daten so verändert, dass andere In-terpretationen möglich sind. Es werden die Notwendigkeiten, Chancen und Möglichkeiten, eines derartigen Arbeitens auch in der Grundschule aufgezeigt, mit dem Ziel Kinder zum kritischen Umgang mit Daten zu erziehen.

Kombinatorik

Aussagen über Unsicherheiten und mögliche Ausgänge von Vorgängen bilden einen Zugang zu Vorstellungen über Zufall und Wahrscheinlichkeit. In der Re-gel sind kombinatorische Überlegungen notwendig, um den Ergebnisraum von Zufallsversuchen zu ermitteln und Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen und sie sind grundlegend für das Verständnis von Modellierungen stochastischer Vor-gänge. Das Durchdringen von kombinatorischen Aufgabenstellungen und das

grundschulspezische Lösen derartiger Problemstellungen ist ein spezisches Thema, das zunächst separat bearbeitet werden sollte. Aus diesem Grund ist bewusst vor dem Zugang zu Zufall und Wahrscheinlichkeit ein Exkurs Kom-binatorik eingefügt. Als Lernziele werden für diesen Bereich folgende Kompe-tenzerwartungen aus der Sicht der Lehrpersonen beschrieben:

• Ich kann Besonderheiten kombinatorischer Aufgabenstellungen beschrei-ben.

• Ich kenne unterschiedliche Darstellungs- und Lösungswege für kombina-torische Aufgabenstellungen.

• Ich kann kombinatorische Aufgabenstellungen identizieren und mit selbst gewählten Mitteln lösen.

• Ich kann die Potenziale kombinatorischer Aufgabenstellungen für die Entwicklung allgemeiner mathematischer Kompetenzen erläutern.

Die Teilnehmenden lösen kombinatorische Problemstellungen. Es werden un-terschiedliche Darstellungs- und Lösungswege gesucht. Das Arbeiten wird ziel-bezogen reektiert und ein zusammenfassender bzw. ergänzender Input gege-ben, um wesentliche und zentrale Ideen hervorzuheben. Im Weiteren analysie-ren die Teilnehmenden die Struktur kombinatorischer Aufgabenstellungen und lernen kombinatorische Figuren kennen. Sie lernen Aufgabenstellungen, denen Permutation, Variation und Kombination zugrunde liegen, mit angemessenen Mitteln zu lösen. Sie erwerben ein inhaltliches Verständnis für Formeln, die zur Berechnung genutzt werden können.

In Bezug auf die Umsetzung im Unterricht besteht für Grundschullehrkräfte die Herausforderung, die Struktur kombinatorischer Figuren in stochastischen Problemstellungen zu erkennen und grundschulgerechte Bearbeitungsstrategi-en zu nutzBearbeitungsstrategi-en, um ein inhaltliches Verständnis dieser FigurBearbeitungsstrategi-en bei Kindern auf den Weg zu bringen.

Zufall und Wahrscheinlichkeit

Mit den Themen beschreibende Statistik und Kombinatorik sind Grundlagen geschaen, sich mit dem Phänomen Zufall und Wahrscheinlichkeit

auseinan-derzusetzen. Für dieses Modul werden folgende Kompetenzerwartungen for-muliert:

• Ich kann Vorgänge, in denen der Zufall eine Rolle spielt, erkennen und analysieren.

• Ich kann Wahrscheinlichkeiten für wiederholbare reale Vorgänge in der Natur oder der Gesellschaft sicher interpretieren.

• Ich kann Beziehungen zwischen zufälligen Erscheinungen und dazu vor-liegenden Daten und Begrien/Zusammenhängen auf der Modellebene herstellen.

• Ich kann die Wahrscheinlichkeit bei zusammengesetzten (mehrstugen) Vorgängen mithilfe von Baumdiagrammen und Pfadregeln berechnen und interpretieren.

Zunächst sind den Teilnehmenden ihre eigene (Be)Gefangenheit bezüglich des Phänomens Zufall und ihr Verständnis von Wahrscheinlichkeit bewusst zu machen. Unsicherheiten und Fehlvorstellungen der Lehrkräfte beeinussen er-fahrungsgemäÿ den Umgang mit dieser Thematik im Unterricht. Im Folgenden erweitern die Lehrpersonen ihr inhaltliches Verständnis vom Wahrscheinlich-keitsbegri (klassischer und statistischer). Sie ermitteln, interpretieren und schätzen Wahrscheinlichkeiten auf der Grundlage von absoluten und relativen Häugkeiten. Das Arbeiten wird in den einzelnen Phasen jeweils zielbezogen reektiert und ein zusammenfassender bzw. ergänzender Input gegeben, um wesentliche und zentrale Ideen hervorzuheben. Stochastische Problemstellun-gen bieten den Zugang, um auf typische FehlvorstellunProblemstellun-gen von Kindern und Erwachsenen einzugehen. Die Notwendigkeit einer Einbindung von experimen-tellen und eine Entwicklung von stochastischen Arbeitsweisen in den Unterricht wird als Voraussetzung herausgearbeitet, um typische Fehlvorstellungen von Kindern idealerweise zu überwinden, oder zumindest zu erschüttern.

4.2.3 Wissen zur Gestaltung von Unterrichtsentwicklungs-prozessen

In dieser Fortbildung geht es um eine konzeptionelle Verbindung einer vor-rangig fachinhaltlich orientierten Fortbildung mit

Unterrichtsentwicklungspro-zessen. In diesem Verständnis schlieÿt das Konzept neben einer Erweiterung von fachinhaltlichem und fachdidaktischem Wissen zur Stochastik auch eine Vermittlung grundlegenden Wissens zur Gestaltung von Unterrichtsentwick-lungsprozessen ein. Der Kurs orientiert sich dazu am PLG-Konzept (vgl. Ab-schnitt 3.4.3). Die Einbindung erfolgt integrativ als Gestaltungsaspekt (vgl.

Abschnitt 4.3.3), indem kollegiale Zusammenarbeit gefordert und in der Kurs-gruppe ermöglicht wird, um mit und von anderen zu lernen. Dazu analysieren die Teilnehmenden ihre persönliche Ausgangssituation bezüglich des fachli-chen Schwerpunkts. Sie nden und benennen ein persönliches bzw. ein für die Gruppe relevantes Problem ihres Mathematikunterrichts. Sie entwickeln da-zu gemeinsam Lösungsansätze in Form von Aufgaben bzw. Unterrichtsreihen.

Diese werden erprobt, das Vorgehen wird dokumentiert, reektiert und die Er-gebnisse allen Kursteilnehmenden zur Verfügung gestellt. Damit können diese Lehrpersonen Veränderungen im eigenen Unterricht realisieren und Impulse für Unterrichtsentwicklung in der eigenen Fachgruppe geben. Zudem werden diese Herangehensweisen mit den Kursteilnehmenden reektiert, sowie Hemmnisse und Gelingensbedingungen für Lehrkräftekooperation herausgestellt. Entspre-chend werden Inhalte des PLG-Konzepts additiv in die Ausbildung eingebun-den. Die Lehrkräfte werden aufgefordert, die Anregungen aus den Diskussionen im beruichen Alltag an ihren Schulen auszuprobieren, darüber zu reektieren und sich mit anderen Lehrpersonen auszutauschen. Mit diesem Ansatz kann Unterrichtsentwicklung angeregt und auch Impulse für Schulentwicklung gege-ben werden.