Kompetenzrahmen des DZLM
2.3 Facetten professioneller Kompetenzen
2.3.1 Professionswissen Stochastik: Fachliche Aspekte
Einleitend wird der mathematische Bereich Stochastik kurz umrissen, bevor im Weiteren dargestellt wird, welche Inhalte und Arbeitsweisen curricular im Fach Mathematik verankert sind.
Stochastik ist ein Produkt der kulturhistorischen Entwicklung der Mensch-heit. Im Versuch der Menschen, Ereignisse ihres Lebens und ihrer Umgebung zu erklären, entwickelte sich der Begri und das individuelle Verständnis von Zufall. Das zeigt sich im Gebrauch der Umgangssprache, in der der Begri fest und vielfältig etabliert ist. Das Verhältnis von Zufall und Notwendigkeit wur-de immer auch aus verschiewur-denen Perspektiven (theologischer, philosophischer, naturwissenschaftlicher) betrachtet und erklärt (vgl. Küttig & Sauer, 2011). In diesem Prozess wurde die Wahrscheinlichkeitstheorie entwickelt.
Auch die Statistik ist kulturhistorisch geprägt. Der Wunsch Informationen zu gewinnen, um das gesellschaftliche Zusammenleben zu organisieren und zu ver-walten, hat die Entwicklung über die Jahrtausende geprägt. Im 18. Jahrhun-dert führte Achenwall den Namen Statistik als Bezeichnung für die Behandlung seiner Staatsbeschreibung ein und begründetet damit den wissenschaftlichen Charakter der Statistik (vgl. Küttig & Sauer, 2011). Es wurden in der Folge soziale und gesellschaftliche Erscheinungen gezielt untersucht, um Gesetzmä-ÿigkeiten zu erkennen und Entwicklung abschätzen zu können.
In der Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie wurden im 20. Jahrhun-dert neue Verfahren genutzt und somit Untersuchungsmöglichkeiten erweitert, so dass das als Beginn der mathematischen Statistik angesehen wird (vgl.
Küttig & Sauer, 2011). Stochastik ist heute ein Wissenschaftsbereich, der sich mit Zufallserscheinungen auseinandersetzt. Er umfasst die Wahrschein-lichkeitsrechnung und mathematische Statistik und deren Anwendungsgebiete (vgl. H. P. Müller, 1991; Küttig & Sauer, 2011).
Für Stochastik ndet man Modelle zum Professionswissen von Lehrpersonen bei Godino, Ortiz, Roa und Wilhelmi (2011). Sie bilden grundlegende sta-tistische Probleme ab, die mit Schlussfolgerungen und Entscheidungen unter Unsicherheit verbunden sind und schlieÿen spezische statistische Methoden ein. Für diese Arbeit interessiert besonders eine Studie, in der statistische Kompetenzen angehender Primarstufenlehrkräfte untersucht werden (Godino et al., 2011). Es werden die Befähigung von zukünftigen Grundschullehrkräf-ten im Lösen von DaGrundschullehrkräf-tenanalyseprojekGrundschullehrkräf-ten betrachtet. Im Ergebnis wird festge-stellt, dass zukünftigen Grundschullehrkräften, selbst wenn sie eine Begris-und Verfahrenskompetenz zeigen, Anwendungssachkenntnisse fehlen. Es kann angenommen werden, dass für Lehrkräfte, die bereits im Beruf tätig sind, ver-gleichbare Aussagen getroen werden können. Damit ist die aus den Untersu-chungsergebnissen abgeleitete Empfehlung, die Lehramtsausbildung im Bereich der Stochastik zu stärken, auch auf den Bereich der Fortbildung zu erweitern.
Eine Lehrkraft sollte von einem höheren und reektierten Standpunkt mindes-tens über Wissen zu den mathematischen Inhalten verfügen, die sie voraussicht-lich unterrichten wird. Diese Auassung wurde in Abstimmungsprozessen der Vertreter der an TEDS-M teilnehmenden Länder erarbeitet. Sie hat sich in der Forschungslandschaft durchgesetzt und wird auch in Arbeiten der Michigan-Gruppe um Ball und dem COACTIV-Programm vertreten. Für Mathematik wird dabei immer wieder auf Kleins Konzeption einer Elementarmathematik vom höheren Standpunkt Bezug genommen (vgl. u. a. Kunter et al., 2011).
Grundlage für die Verankerung der Stochastik in Bildungskonzepten bilden die Empfehlungen des Arbeitskreises Stochastik der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik (AK Stochastik, 2002) und die Empfehlungen der Deutscher Mathematiker-Vereinigung (DMV), der Gesellschaft für Didaktik der Mathe-matik (GDM) und des Deutschen Vereins zur Förderung des mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterrichts e.V. (MNU) zu den Standards von Lehrerbildung im Fach Mathematik (DMV, GDM & MNU, 2008). Die Emp-fehlungen des AK Stochastik der GDM zu Zielen und zur Gestaltung des Sto-chastikunterrichts (AK Stochastik, 2002) basieren auf einer Analyse der Lehr-pläne aller Bundesländer und widerspiegeln die Ergebnisse mehrjähriger inten-siver Diskussionen zum Verständnis einer stochastischen Bildung. Es wird eine
Aufwertung stochastischer Allgemeinbildung aus den gesellschaftlichen Erfor-dernissen begründet und daraus das heute etablierte Verständnis von stochas-tischer Allgemeinbildung abgeleitet.
In der Empfehlung heiÿt es:
Zur stochastischen Allgemeinbildung eines Schulabsolventen gehö-ren grundlegende Elemente der Beschreibenden Statistik und Ex-plorativen Datenanalyse, der Wahrscheinlichkeitsrechnung und der Beurteilenden Statistik in dem Maÿe, wie sie zur Bewältigung der damit verbundenen allgemeinen Anforderungen in seiner künftigen Ausbildung sowie seinem beruichen, gesellschaftlichen und per-sönlichen Leben erforderlich sind. Eine grundlegende stochastische Bildung muss daher in Zukunft zum verbindlichen Bestandteil aller Pläne für den Mathematikunterricht von der 1. bis 12./13. Klasse gehören. (AK Stochastik, 2002, S. 1)
Für die Primarstufe wird empfohlen, dass bereits Elemente der Wahrschein-lichkeitsrechnung und Statistik verbindliche Bestandteile der Lehrpläne sein sollten. Zur Begründung wird aufgeführt, dass Schüler in ihrem täglichen Leben bereits mit stochastischen Erscheinungen [...] konfrontiert werden und die Entwicklung einer stochastischen Allgemeinbildung ein grundlegendes und langfristig zu entwickelndes Ziel ist, das einer propädeutischen Behandlung in der Grundschule bedarf (AK Stochastik, 2002, S. 3).
Müller und Wittmann leiten daraus ab,
dass es nur darum gehen [kann], die stochastischen Inhalte auf in-tuitivem Niveau unter Verzicht auf jeden formalen Apparat ein-zuführen und zwar innerhalb des Kontextes einzelner (möglichst beziehungsreicher) Beispiele. Von einer solchen Basis aus kann in der S I und ggf. in der S II eine systematischere Herausarbeitung der Begrie und Sätze erfolgen.
(G. Müller & Wittman, 1984, S. 241)
Diese Empfehlungen spiegeln sich in den Beschlüssen der Kultusministerkonfe-renz (KMK) zu den Bildungsstandards Mathematik (KMK, 2004a) wider (vgl.
Abbildung 2.9). Innerhalb der inhaltsbezogen mathematischen Kompetenzen
3.5 Daten Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit
Daten erfassen und darstellen
oin Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen Experimenten Daten sammeln, strukturieren und in Tabellen, Schaubildern und Diagrammen darstellen,
oaus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Infor- mationen entnehmen.
Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen in Zufallsexperimenten vergleichen
oGrundbegriffe kennen (z. B. sicher, unmöglich, wahrscheinlich),
oGewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten (z. B. bei Würfelspielen) einschätzen.
Abbildung 2.9: Bildungsstandards Mathematik Primarstufe - Daten, Häug-keit und WahrscheinlichHäug-keit (KMK, 2004a, S. 11)
wird mit der Leitidee Daten, Häugkeit und Wahrscheinlichkeit in der Primar-stufe ein eigener Bereich ausgewiesen. Das entspricht der gewünschten Aufwer-tung einer stochastischen Bildung in der Grundschule. Dazu zählen neben den zu vermittelnden Inhalten (Begrie, Konzepte) auch stochastische Arbeitswei-sen. Die Bearbeitung stochastischer Problemstellungen nutzt und entwickelt alle prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen, schult aber insbesonde-re Fähigkeiten zum Problemlösen und Modellieinsbesonde-ren. Der AK Stochastik (2002) empehlt, dass Stochastik in der Primarstufe als ein Aspekt den gesamten Ma-thematikunterricht durchziehen und kein eigenständiges Stogebiet darstellen soll. Um die Bedeutung für den Unterricht zu betonen, wird allerdings in den KMK-Bildungsstandards (KMK, 2004a) und in den Lehrplänen für Mathe-matik Grundschule der Länder dieser Inhaltsbereich als separates Themen-feld Daten, Häugkeit und Wahrscheinlichkeit ausgewiesen. Man kann davon ausgehen, dass in der Folge dieser Inhaltsbereich auch in den (traditionellen) schulinternen Planungen als eigenes Stogebiet erscheint und auch so im Un-terricht umgesetzt wird.
Der AK Stochastik empehlt zudem für die Umsetzung im Unterricht, die Vor-erfahrungen der Schülerinnen und Schüler zu analysieren und aufzugreifen,
ver-schiedene Lösungswege zuzulassen und ein Vorgehen auf enaktiver Ebene an-zubieten (AK Stochastik, 2002). Zudem benötigen Lehrkräfte ein Verständnis vom und Hintergrundwissen zum spiralen Aufbau des Stochastik-Curriculums.
Das schlieÿt im Sinne der Sicherung des Übergangs in die Sekundarstufe das in-haltliche Verständnis der Bildungsstandards Mathematik des mittleren Schul-abschlusses (KMK, 2003) ein. Die bisher dargestellten Bezüge richteten sich auf die inhalts- und prozessbezogenen Kompetenzen, die Schülerinnen und Schüler in Mathematik zu einem bestimmten Zeitpunkt der Schullaufbahn auf einem bestimmten Niveau entwickelt haben sollten.
Parallel zu den Diskussionen und Festschreibung von Lernergebnissen von Schülerinnen und Schülern in den KMK-Bildungsstandards (KMK, 2003, 2004a) liefen auch Diskussionen zu Standards für die Lehramtsausbildung. Diese wur-den 2004 zunächst für die Bildungswissenschaften formuliert (KMK, 2004b).
Im Auftrag der Kultusministerkonferenz waren anschlieÿend die Fachprole auszuschärfen. In Zusammenarbeit von Fachwissenschaftlerinnen und Fachwis-senschaftlern, Fachdidaktikerinnen und Fachdidaktikern und unter Mitwirkung von Fachverbänden wurde die Vereinbarung Ländergemeinsame inhaltliche An-forderungen für die Fachwissenschaften und Fachdidaktiken in der Lehrerbil-dung (KMK, 2008) erarbeitet und durch die KMK beschlossen. Darin wird für alle Fächer ein grundlegendes Verständnis von fach- bzw. fachrichtungsbezo-genen Kompetenzen von Lehrkräften beschrieben (KMK, 2008, S. 2).
Die Kompetenzentwicklung von Lehrkräften wird explizit als Ausbildungs- und Lernaufgabe für alle Phasen der Lehramtsausbildung betont, d.h. beginnend mit dem Studium bis hinein in die Berufstätigkeit, im Sinne eines lebenslangen Lernens. Allerdings wird davon ausgegangen, dass die aufgezeigten fachbezo-genen Kompetenzen vorrangig im Studium aufzubauen bzw. zu entwickeln und damit als Standards für die Lehramtsausbildung zu verstehen sind.
Fachwissen versteht man als solides und strukturiertes Verfügungswissen, als Überblickswissen und reektiertes Wissen über das Fach. Als Metawissen er-möglicht es Lehrkräften auf wichtige wissenschaftstheoretische Konzepte zu-rückzugreifen. Durch Einblicke in andere Disziplinen soll zudem fach- bzw.
fachrichtungsübergreifendes Wissen erworben werden (KMK, 2008, S. 3).
Darüber hinaus sollen Studienabsolventinnen und -absolventen mit den
Er-kenntnis- und Arbeitsmethoden und Medien ihrer Fächer vertraut gemacht werden und in der Lage sein, diese in zentralen Bereichen ihrer Fächer adressaten-und sachgerecht anzuwenden (KMK, 2008, S. 3).
In den Fachprolen werden die während des Studiums zu erreichenden Kom-petenzen formuliert, sowie die dazu notwendigen inhaltlichen Schwerpunkte benannt. Diese gelten in der Regel für alle Lehrämter. Teilweise wird eine Dierenzierung nach Lehrämtern und Schulformen für sinnvoll erachtet und vorgenommen. So werden in Mathematik Studieninhalte für das Lehramt der Sekundarstufe I, der Sekundarstufe II oder für das Gymnasium und für das Lehramt an berufsbildenden Schulen ausgewiesen. Für das Anliegen dieser Ar-beit, die die Fortbildung von Grundschullehrkräften in den Blick nimmt, geben die Festschreibungen für das Lehramt der Sekundarstufe I eine Orientierung.
Im fachspezischen Kompetenzprol Mathematik nden wir zunächst Aussa-gen, die sich auf alle Themenfelder übergreifend beziehen (KMK, 2008, S. 35):
Die Studienabsolventinnen und -absolventen [...]
• können mathematische Sachverhalte in adäquater mündlicher und schriftlicher Ausdrucksfähigkeit darstellen, mathemati-sche Gebiete durch Angabe treibender Fragestellungen struk-turieren, durch Querverbindungen vernetzen und Bezüge zur Schulmathematik und ihrer Entwicklung herstellen,
• können beim Vermuten und Beweisen mathematischer Aus-sagen fremde Argumente überprüfen und eigene Argumenta-tionsketten aufbauen sowie mathematische Denkmuster auf innermathematische und auf praktische Probleme anwenden (mathematisieren) und Problemlösungen unter Verwendung geeigneter Medien erzeugen, reektieren und kommunizieren,
• können den allgemeinbildenden Gehalt mathematischer Inhal-te und Methoden und die gesellschaftliche Bedeutung der Ma-thematik begründen und in den Zusammenhang mit Zielen und Inhalten des Mathematikunterrichts stellen,
• können fachdidaktische Konzepte und empirische Befunde ma-thematikbezogener Lehr-Lern-Forschung nutzen, um indivi-duelle, heterogene Vorstellungen, Denkwege und
Fehlermus-ter von und bei Schülerinnen und Schülern zu analysieren, ihren Lernstand und Potenzial einzuschätzen, sie für das Ler-nen von Mathematik zu motivieren und bei ihren individuellen Lernwegen zu begleiten sowie individuelle Lernfortschritte zu fördern und zu bewerten,
• können dierenzierenden Mathematikunterricht auf der Basis fachdidaktischer Konzepte analysieren und planen sowie auf der Grundlage erster reektierter Erfahrungen exemplarisch durchführen,
• können auf der Grundlage ihrer fachbezogenen Expertise hin-sichtlich der Planung und Gestaltung eines inklusiven Unter-richts mit sonderpädagogisch qualizierten Lehrkräften und sonstigem pädagogischen Personal zusammenarbeiten und mit ihnen gemeinsam fachliche Lernangebote entwickeln.
Im Bereich der Stochastik sind für das Lehramt der Sekundarstufe I als Studien-inhalte Wahrscheinlichkeitsrechnung in endlichen Ereignisräumen und Grund-lagen der Beschreibenden Statistik und der Schlieÿenden Statistik benannt.
Für die Konzipierung in Curricula wird eine Ausdierenzierung der fachli-chen Standards in vier Kategorien, wie in Abbildung 2.10 (S. 40) dargestellt, vorgeschlagen (DMV et al., 2008). In den KMK-Bildungsstandards Lehrer-bildung Mathematik sind für den Themenkreis Stochastik - Daten analysie-ren und Zufall modellieanalysie-ren inhalts- und prozessbezogene Kompetenzen fest-geschrieben (vgl. Abbildung 2.11, S. 40). In ihnen spiegeln sich grundlegende Denk- und Arbeitsweisen der Stochastik, wie der Datenanalysezyklus von Wild und Pfannkuch (1999), wider. Er umfasst, ausgehend von einer Problemstel-lung, die Ableitung der Notwendigkeit der Planung und Durchführung einer Datenerhebung, sowie das Aufbereiten und Interpretieren der Daten mit Bezug zum Ausgangsproblem (Wild & Pfannkuch, 1999, S. 225).
Die Kompetenzen betreffen die im Alltag relevante Mathematik und ihre begriffliche Beschreibung.
Über diese Kompetenzen soll eine Lehrkraft verfügen, die Mathematik gleich in welcher Jahrgangsstufe unterrichtet, auch dann, wenn sie kein Fachstudium absolviert hat.
Diese Kompetenzen betreffen Werkzeuge, Begriffe, Verfahren der
Elementarmathematik als Mittel, die Alltagsmathematik von einem übergeordneten Standpunkt aus zu durchdringen, zu reflektieren und in ihrem Rahmen Probleme zu lösen.
Über diese Kompetenzen soll eine Lehrkraft zusätzlich verfügen, die Mathematik gleich in welcher Jahrgangsstufe unterrichtet und ein stufenspezifisches Fachstudium absolviert hat.
Diese Kompetenzen betreffen Werkzeuge, Begriffe, Verfahren der
Elementarmathematik und die Möglichkeit, diese von einem höheren Standpunkt zu durchdringen, zu reflektieren und in ihrem Rahmen Probleme zu lösen.
Über diese Kompetenzen soll eine Lehrkraft darüber hinaus verfügen, die Mathematik in den Sekundarstufen unterrichtet und ein schulformspezifisches Fachstudium absolviert hat.
Diese Kompetenzen betreffen exemplarisch die Kenntnis weiterführender mathematischer Theoriebildungen mit ihren spezifischen Mechanismen und der je eigenen Leistungsfähigkeit zum Lösen inner- und außermathematischer Probleme.
Über diese Kompetenzen soll eine Lehrkraft zusätzlich verfügen, die Mathematik in der Sekundarstufe II unterrichtet.
Abbildung 2.10: Empfehlungen von DMV, GDM, MNU zur curricularen Um-setzung der Standards der Lehramtsausbildung im Fach Mathematik
(DMV et al., 2008, S. 2)
Bereiche Kompetenzen bezogen auf Inhalte und Prozesse Die Studierenden
Beschreibende Statistik/
Datenanalyse
planen statistische Erhebungen (Befragung, Beobachtung oder Experiment), führen sie durch und werten sie aus
lesen und erstellen grafische Darstellungen für uni- und bivariate Daten (z.B. Kreuztabelle) und bewerten deren Eignung für die jeweilige Fragestellung
bestimmen und verwenden uni- und bivariate Kennwerte (z.B.
Mittelwerte, Streumaße, Korrelationen, Indexwerte) und interpretieren sie angemessen
Zufallsmodel- lierung
modellieren mehrstufige Zufallsversuche durch endliche
Ergebnismengen und nutzen geeignete Darstellungen (Baumdiagramm, Mehrfeldertafel)
unterscheiden Wahrscheinlichkeitsaspekte (frequentistisch, axiomatisch usw.) und beschreiben typische Verständnisschwierigkeiten im Umgang mit dem Zufallsbegriff
rechnen und argumentieren mit Wahrscheinlichkeiten
… Stochastische
Anwendungen
…
Neue Medien verwenden Tabellenkalkulation und statistische Software zur Darstellung und explorativen Analyse von Daten simulieren Zufallsversuche computergestützt
Abbildung 2.11: KMK-Standards Lehramtsausbildung Mathematik:
Stochastik - Daten analysieren und Zufall modellieren (KMK, 2008, S. 8)