Robustheit im Supply Chain Design bei einem Ziel

Bei der Ermittlung eines robusten Supply Chain Design kann die Festlegung der Ent-scheidungsvariablen in zwei Stufen erfolgen. Als Variablen der ersten Stufe werden die Standorte der Produktionsstätten und Lager sowie die zu beschaffenden Mengen der Rohstoffe von den verschiedenen Zulieferern bertlcksichtigt. Dabei werden ledig-lich die Beschaffungsmengen der Rohstoffe bertlcksichtigt, die für die zu fertigenden Produkte als strategisch anzusehen sind¹⁴⁵ und somit implizit die Auswahl der relevan-ten Zulieferer auf Basis des Preises der Rohstoffe festlegen.¹⁴⁶ Hinsichtlich der Entscheidungsvariablen wird dartlber hinaus in der ersten Stufe die Planung der Kapa-zitäten der Produktionsstandorte in Form von Kapazitätsmodi, wie in Abschnitt 3.4.2 erläutert, beachtet. Die Unsicherheit wird in Form von Nachfrageszenarien durch den Index s = 1, ... , S einbezogen. Zu den Variablen der zweiten Stufe, die an die ver-schiedenen möglichen Szenarien angepasst werden, zählen die zu produzierenden und transportierenden Mengen der verschiedenen Produkte von den Produktionsstätten über die W arenverteilzentren bzw. Lager bis hin zu den Kunden. Die Variablen der ersten Stufe, ohne den Index s, sind unabhängig von der Realisation eines Szenarios s und somit fest. Die Variablen der zweiten Stufe hingegen erhalten einen Wert für jedes mögliche Szenarios, wobei lediglich ein Szenario in der Realität auftritt und dement-sprechend die ermittelten Werte dieser Variablen für die Umsetzung relevant sind. Das mathematische Modell zur Ermittlung der szenariooptimalen Zielfunktionswerte GDB:p1 , welches dann für jedes der S Szenarien gelöst werden muss, lautet wie folgt:

Indizes und Indexmengen

Modus, in dem ein Standort betrieben wird Produkte

Rohstoffe Szenarien Zulieferer

145 Vgl. zur Klassifizierung von zu beschaffenden Gutem Abschnitt 4.3.

146 Die Beschaffungsmengen können dennoch kurzfristig angepasst werden, wenn die im Rahmen des Supply Chain Design festgelegten Beschaffungsmengen als Rahmenverträge mit den Zulieferern aufgefasst werden.

147 Diese Ebene kann an Stelle der Lager auch W arenverteilzentren beinhalten.

Daten

Bedarfskoeffizient, Menge des Rohstoffs r, die erforderlich ist, um eine Einheit des Produktes p herzustellen

Kapazitätsinanspruchnahme des Produktionsstandortes i für die Produktion einer Einheit des Produktes p

Kapazitätsinanspruchnahme des Lagers j für eine Einheit des Pro-duktes p

Nachfrage von Kunde c nach Produkt p in Szenario s

Fixe Kosten für den Betrieb des Produktionsstandortes i der Kapa-zität k

Fixe Kosten für den Betrieb des Lagers j der Kapazität k

Fixe Kosten, die anfallen, wenn am Standort i ein Produktions-standort der Kapazität k errichtet wird

Fixe Kosten, die anfallen, wenn am Standort j ein Lager der Kapazität k errichtet wird

Mindestbestellmenge des Rohstoffs r bei Zuliefererz Maximale Bestellmenge des Rohstoffs r bei Zulieferer z Mindestauslastung des Lagermodus k

Maximalauslastung des Lagermodus k Mindestauslastung des Produktionsmodus k Maximalauslastung des Produktionsmodus k

Preis, den Kunde c für eine Einheit des Produktes p bezahlt Variable Beschaffungskosten für eine Einheit des Rohstoffs r von Zulieferer z und Lieferung bis zum Produktionsstandort i

Variable Lagerhaltungs- bzw. Komissionierkosten für eine Einheit des Produktes p in Lager j

Variable Produktionskosten für eine Einheit des Produktes p am Standort i

Variable Transportkosten von Produktionsstandort i zu Lager j Variable Transportkosten von Lager j zu Kunde c

Entscheidungsvariablen

Xbrzi Menge des Rohstoffs r, die von Zulieferer z an Produktionsstand-ort i geliefert wird

Menge des Produktes p, die in Szenario s in Produktionsstandort i produziert und zu Lager j transportiert wird

Menge des Produktes p, die in Szenario s von Lager j zu Kunde c transportiert wird

{l, falls an Standort i ein Produktionsstandort der Kapazität k errichtet wird YP;k= 0, sonst

{l, falls an Standort j ein Lager der Kapazität k errichtet wird ylk=

J 0, sonst

{l, falls Rohstoff r von Zulieferer z beschafft wird yzrz= 0, sonst

Für jedes s zu lösen:

z p J

S. d. LXbrzi _Z=I ~

LLArp

_{p=I j=l} ^{·XP~ij Vi,r}

1 C

L

_i=l ^{XP~ij ~}

L

_c=l ^{xl~jc Vp, j}

Lxl~jc J

=

^{D~ Vp,c}

j=I

LYPik ~·

k=I K ^v'i

v'j

K J P K

LKP:'in ·YP;k ~rrspi ·XP~ij ~rKPrw' ^·ypik Vi

k=I j=I p=l k=l

K J P K

LKL~". yljk ~

LL

^{cpj. xl~jc ~} LKL!ax. yljk Vj

k=l j=l p=l k=l

(5.26)

(5.27)

(5.28) (5.29)

(5.30) (5.3 I) (5.32)

(5.33)

KAPZ~n . YLrz :,;;

L

1 Xbrzi :,;; KAPZ~ax . YLrz

i=I

xbrzi, xp~ii• xl~ic 2: 0 Vc,i,j,p,r,s,z YPik, ylit>YLrz E

{O,

I} Vi,j,k,r,z

Vr,z (5.34)

(5.35) (5.36) Die Restriktionen (5.27), (5.28), (5.29) und (5.34) entsprechen der Modellierung der Grundstruktur in Abschnitt 3.4.1. Die Zielfunktion (5.26) zur Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrags ist eine der Erweiterungen des Abschnitts 3.4.2. Diesem Abschnitt sind ebenfalls die Detaillierung der Entscheidungsvariablen hinsichtlich des Kapazitätsmodus sowie die Restriktionen (5.30) - (5.33) zur Kapazitätsplanung ent-nommen. Abschließend werden die Materialflussvariablen und die Binärvariablen mit (5.35) und (5.36) definiert.

Für die Ermittlung eines robusten Supply Chain Design werden bei der vorgestellten Zielsetzung der Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrags die folgenden Ersatzziel-funktionen zur Erzeugung optimalitätsrobuster Lösungen gewählt:

R1: Minimierung der maximalen Unterschreitung der szenariooptimalen Zielfunktions-werte (Minimierung des maximalen Bedauerns)

R2: Minimierung der maximalen relativen Unterschreitung der szenariooptimalen Ziel-funktionswerte (Minimierung des maximalen relativen Bedauerns)

R3: Minimierung der erwarteten relativen Unterschreitung der szenariooptimalen Ziel-funktionswerte (Minimierung des erwarteten relativen Bedauerns)

Der szenariooptimale Gesamtdeckungsbeitrag des Szenarios s wird mit GDB~pt be-zeichnet, der aus der robusten Lösung resultierende Gesamtdeckungsbeitrag in Abhän-gigkeit von den Ausprägungen der szenarioabhängigen Variablen der zweiten Stufe, durch den die Abweichung von den szenariooptimalen Zielfunktionswerten bestimmt wird, mit gdb' . Darüber hinaus wird eine Überschreitung des szenariooptimalen Ziel-funktionswertes mit u; und eine Unterschreitung mit u; bezeichnet. Die optimalen Zielfunktionswerte GDB~pt werden als Daten in das robuste Optimierungsmodel]

übernommen und eine weitere positive Variable I; eingeführt. Dies führt zu folgendem robusten Optimierungsmodell zur Minimierung der maximalen Unterschreitung der Szenariooptima:

(5.37)

s. d. GDB~pt + u; - u; ⁼ gdb⁵ \::/s (5.38)

(5.39)

PJC [IK

gdb' = ~;~xl~ic ·PRpc - ~t.(FEKP;k +FBKP;d·YPik

J K R Z 1

+ LL(FEKLjk +FBKLjk)•yljk +

LLLVBKrzi

^·Xbrzi

j=I k=l r=I z=I i=I

p I J (5.40)

+

L L L

^{(VPKp; +} VTKPii) · xp~ii

p=I i=l j=I

+

t.tt(VLKPi

⁺

VTKLjc) ·

^{xl~ic] 'vs}

(5.27) - (5.34) und (5.36) ggf. um \::/s erweitert

xb,.;, xp~ij, xl~jc, u;, u;,

S

^~ 0 \::/r, z, p, i,j, c, s (5.41)

gdb^{5 e} IR \::/s (5.42)

Die Restriktion (5.40) entspricht der Zielfunktion (5.26) des Ausgangsmodells und legt jetzt die ^zur robusten Lösung gehörenden Gesamtdeckungsbeiträge für jedes Szenario fest. Da bei dieser Art der Zielfunktion nur für das bindende Szenario, d. h. für das Szenario, bei dem u; maximal wird, der zugehörige maximal erreichbare Gesamt-deckungsbeitrag festgelegt wird, müssen auf Basis der Entscheidungen der ersten Stufe die Entscheidungen der zweiten Stufe ermittelt werden, die den Gesamtde-ckungsbeitrag der verbleibenden Szenarien maximieren. Bei Bekannt werden der Nachfrage können dann die auf der Grundlage der Entscheidungen der ersten Stufe optimalen Entscheidung der zweiten Stufe realisiert werden. Für die Anwendung der Ersatzzielfunktion R2 muss bei der Ermittlung einer robusten Lösung, welche die maximale relative Unterschreitung minimiert, Restriktion (5.39) durch Restriktion (5.43) ersetzt werden:

S

^> u; \::/s

- GDB' _opt (5.43)

Für die Minimierung der erwarteten relativen Unterschreitung der szenariooptimalen Gesamtdeckungsbeiträge sind zusätzlich Eintrittswahrscheinlichkeiten P, für die

ver-schiedenen Nachfrageszenarien erforderlich. Sind keine szenariospezifischen Eintritts-wahrscheinlichkeiten ermittelbar, so ist davon auszugehen, dass alle Szenarien gleich-wahrscheinlich sind. Die Hilfsvariable ~ und Restriktion (5.39) sind nicht erforder-lich, die Zielfunktion für R3 lautet dann:

s

-Min"P ,e_, s · u. s

s=I GDBopt (5.44)

Die Ergebnisrobustheit wird nicht in die Zielfunktion integriert, da diese je nach Datenstruktur in einem Zielkonflikt zur Optimalitätsrobustheit steht. Dennoch können die aus einem robusten Optimierungsmodell resultierenden Zielfunktionswerte der verschiedenen Szenarien hinsichtlich der Ergebnisrobustheit ex post untersucht wer-den, was exemplarisch in Kapitel 6 gezeigt wird.

Hinsichtlich der Zulässigkeitsrobustheit werden einerseits Kompensationsmöglichkei-ten berücksichtigt, d. h. UnzulässigkeiKompensationsmöglichkei-ten mit StrafkosKompensationsmöglichkei-ten in die Zielfunktion integriert und andererseits Chance-Constrained-Restriktionen mit unterschiedlichen Mindest-wahrscheinlichkeiten verwendet. ¹⁴⁸ Für die Berücksichtigung der Strafkosten ist eine zusätzliche Entscheidungsvariable v~ erforderlich, welche die unbefriedigte Nach-frage des Kunden c hinsichtlich Produkt p in Szenario s angibt, sowie ein ggf. produkt-und/oder kundenspezifischer Strafkostensatz SK. Bei der Erzeugung robuster Lösun-gen werden diese Strafkosten dann in den szenariospezifischen Gesamtdeckungs-beiträgen berücksichtigt, so dass die Abweichung von den szenariooptimalen Gesamt-deckungsbeiträgen ggf. um diese Strafkosten vergrößert wird. Restriktion (5.40), die zur Ermittlung der aus der robusten Lösung resultierenden Gesamtdeckungsbeiträge dient, muss durch Restriktion (5.45) und die Nachfragerestriktion (5.29) durch (5.46) ersetzt werden.

PJC [IK

gdb⁵

=

^{~ ~ ~ xl~ic · PRpc -}

fr t.

(FEKP;k + FBKP;k) · YPik

J K R Z 1

+I:~)FEKLjk +FBKLjk}•yljk +

LLLVBKrzi

^·Xbrzi

j=I k=I r=I z=I i=I

p I J (5.45)

+

L L L

(VPKp; + VTKPii) • xp~ii

p=I i=I j=I

P J C ] P C

+ ~~~(VLKPi + VTKLic)·xl~ic -SK· ~ttv;pc v's

148 Vgl. zur Verwendung von Chance-Constraints zur Gewährleistung der Zulässigkeitsrobustheit ScholJ (2001 ),

s. 2331T.

Ixl~jc J = D~ -v~ ^{Vp,c,s (5.46)}

j=l

Für die zweite Art der Berücksichtigung von Unzulässigkeiten in Fonn von Chance-Constrained-Restriktionen ist eine vorgegebene Mindestwahrscheinlichkeit a, mit der die Nachfrage erfüllt werden muss, sowie eine zusätzliche Binärvariable bin", die den Wert eins annimmt, wenn die Nachfrage in Szenario s vollständig erfüllt wird, erfor-derlich. Der Tenn, der die Strafkosten in die Zielfunktion (5.45) integriert, entfällt.

Stattdessen müssen die folgenden Restriktionen zusätzlich im Modell beachtet werden:

p C

LLV~

~M-(1-bin") Vs (5.47)

p=l c=l

IP"

s •bin"~ a (5.48)

•=1

Restriktion (5.47) stellt sicher, dass die gesamte unbefriedigte Nachfrage des Szenarios s den Wert null annimmt, wenn die Binärvariable bin" den Wert eins annimmt. Restrik-tion (5.48) gewährleistet dann, dass ausreichend viele der Binärvariablen den Wert eins annehmen, so dass die Mindestwahrscheinlichkeit a, mit der die Nachfrage erfüllt sein muss, erreicht wird.

Nachdem in diesem Abschnitt die Modellierung der verschiedenen Ersatzmodelle, die zur Ennittlung eines robusten Supply Chain Design bei der einzelnen Zielsetzung der Maximierung des Gesamtdeckungsbeitrags vorgestellt wurden, wird im nachfolgenden Abschnitt das Vorgehen zur Ermittlung eines robusten Supply Chain Design bei mehreren relevanten wirtschaftlichen Zielsetzungen im Rahmen der erweiterten Zulie-fererauswahl näher betrachtet. Dafür werden die in Abschnitt 5.4.2 entwickelten Modelle zur Erzeugung zielrobuster Lösungen auf das Supply Chain Design mit erweiterter Zulieferbewertung, welches in Kapitel 4 entwickelt wurde, angewandt.

5.5.2 Robustheit im Supply Chain Design bei Mehrfacbzielsetzung

Im Dokument Supply Chain Design (Seite 171-177)