Besonderheiten mebrperiodiger Modelle

Bei mehrperiodigen Betrachtungen ist zu unterscheiden, ob es zwischen den verschie-den Perioverschie-den Interdepenverschie-denzen gibt. ¹³⁵ Dabei kann etwa periodenübergreifende Lager-haltung die Verbindung zwischen den verschiedenen Perioden darstellen,¹³⁶ oder es ist möglich, die Anpassung der Kapazitäten der verschiedenen Standorte in verschiedenen Perioden zu erlauben.¹³⁷ Des Weiteren ist im Rahmen der Planungsstabilität zu prüfen, ob einmal eröffnete oder geschlossene Standorte zu einem späteren Zeitpunkt wieder geschlossen bzw. eröffnet werden dürfen.¹³⁸ Besteht keine Verbindung zwischen den verschiedenen Zeitperioden, so handelt es sich um komparativ-statische Modelle. ¹³⁹ Im Folgenden wird ein weiteres Modell vorgestellt, welches einen Planungshorizont umfasst, der in T Perioden unterteilt ist und simultan die Planung der Kapazitäten der verschiedenen Standorte durch verschiedene Kapazitätsmodi k beinhaltet. Für die rele-vanten Zeitabschnitte wird zunächst ein weiterer Index t eingeführt und das im vorhe-rigen Abschnitt entwickelte Modell um die Mehrperiodigkeit erweitert sowie verschie-dene Möglichkeiten der Interdependenzen zwischen den Perioden diskutiert.

134 Vgl. für eine ähnliche Darstellung der Recycling-Prozesse Fandel/Stamrnen (2004).

135 Vgl. Abschnitt 3.1.1. .

136 Vgl. Amtzen et al. (1995); Fandel/Stamrnen (2004).

137 Vgl. Alonso-Ayuso et al. (2003); Lucas/Messina/Mitra (1997).

138 Vgl. hierzu Hinojosa/Puerto/Fernändez (2000).

139 Vgl. für ein komparativ-statisches Modell zum Supply Chain Design etwa Lucas et al. (2001).

Zusätzliche Indizes und Indexmengen t

=

1, ... , T Zeitperioden Zusätzliche Entscheidungsvariablen

{l, falls in Periode t an Standort i eine Produktionsstätte der

YP!, ⁼

Kapazität k errichtet wird 0, sonst

8 {l, falls in Periode t an Standort i im Kapazitätsmodus k produziert wird YPik1= _{0, sonst}

E {l, falls in Perj.ode t an Standort j ein Lager der Kapazität k errichtet wird yl•1ct=

J 0, sonst

8 {l, falls in Periode t ein Lager j im Kapazitätsmodus k betrieben wird yl•1ct=

J 0, sonst

. {l,

^fal_!s an Sta!ldort i in Periode t der Kapazitätsmodus von k1 zu k2

hilfik,k,t

=

geandert w1rd 0, sonst

bestpj1 Lagerbestand des Produktes p in Lager j am Ende von Periode t Zusätzliche Daten

Kapazitätswechselkosten an Standort i von Kapazitätsmodus k1 zu k2 in Periode t

Die weiteren Entscheidungsvariablen und Daten werden, sofern diese sich im Zeitab-lauf ändern, mit diesem Index t versehen. Ein daraus resultierendes Modell lautet wie folgt:

T P J C [ T K 1

Max~~~

tf

^{PRpc · xlpjct -}

^~ ti fr

(FEKP;k, · YPt + FBKP;1ct · YPt)

T K J T R Z 1

+ II})FEKLjkt ·ylf1ct +FBKLjkl ·yl!,)+ IIIIVBKrzi, ·Xbrzi,

W~0 W~~~

T P I J (3.41)

+

L L L L

(VPKpit + VTKPijl). XPpijl

l=l p=l i=l j=l

+

t ^{t t t.}

(VLKpjt + VTKLjct) · xlpjct]

z p J Die Restriktionen (3.45) und (3.46) gewährleisten, dass jeder Standort in jeder Periode t maximal in einem Produktionsmodus k betrieben werden kann. Darüber hinaus wird in den Restriktionen (3.47) und (3.48) sicher gestellt, dass die mit einem Modus k ver-knüpften Mindest- bzw. Maximalkapazitätsauslastungen in jeder Periode t eingehalten

werden. Mit Hilfe der Restriktionen (3.50) und (3.51) wird der Zusammenhang zwischen den Entscheidungsvariablen für die erstmalige Errichtung eines Standortes und dem Betrieb eines Standortes erfasst. Wenn in Periode t ein Standort i in Betrieb ist, der in Periode t-1 auch nicht in einem anderen Kapazitätsmodus in Betrieb war, so nimmt die entsprechende Binärvariable für die Errichtung dieses Standortes den Wert 1 an und die zugehörigen Errichtungskosten werden in der Zielfunktion erfasst.

Andernfalls können durch verschiedene Kapazitätsmodi die rechten Seiten der Unglei-chungen -1 oder O werden, so dass die Entscheidungsvariablen für die Eröffnung der Standorte durch die Definition als Binärvariablen den Wert O annehmen. Die verblei-benden Restriktionen entsprechen der Darstellung des Grundmodells aus Unterkapitel 3.4.1. Eine Anpassung etwa durch im Zeitablauf schwankende maximale und mini-male Liefennengen der Zulieferer ist analog möglich. Im Folgenden werden weitere Möglichkeiten, Interdependenzen zwischen den Perioden im Modell zu erfassen, diskutiert.

Stabilität der Standortplanung

Im Rahmen der Stabilität des Supply Chain Design kann es sinnvoll sein, insbesondere bei der Standortplanung der Produktionsstätten, das Schließen eines einmal eröffneten Standortes in den nachfolgenden Perioden nicht zu erlauben. Die Restriktionen (3.54) und (3.55) setzen dies im Modell um:

K K

"" D

<""

^B

~ YPikt-1 - ~ YPikt Vi,t

=

2, ... , T (3.54)

k=I k=I

Vj,t = 2, ... ,T (3.55)

Falls es sich um ein Redesign handelt und es dementsprechend Standorte gibt, die bereits eröffnet sind, ist eine Unterscheidung der gesamten Produktionsstätten I in die Menge Ie mit Produktionsstandorten, an denen bereits produziert wird, und die Menge 10 mit Produktionsstandorten, an denen eine Produktionsstätte errichtet werden kann, möglich.¹⁴

°

Falls für die Schließung bereits vorhandener Standorte gelten soll, dass diese in nachfolgenden Perioden nicht wieder eröflhet werden dürfen, sind die Ungleichheitszeichen der Restriktionen (3.54) für i e Ie in~ zu ändern. Entsprechend kann die Restriktion (3.50) modifiziert werden, so dass die Binärvariable für die Errichtung für i e Ie zur Binärvariablen für die Schließung der Produktionsstandorte wird. Die fixen Kosten FEKP;ki in der Zielfunktion geben dann für i e Ie die Kosten an, die mit der Schließung des Standortes i im Modus k verbunden sind.¹⁴¹

140 Vgl. zu diesem Vorgehen Hinojosa/Puerto/Femandez (2000), S. 275.

141 Vgl. Hinojosa/Puerto/Fernandez (2000), S. 275.

Kapazitätsanpassungen

Die Kosten, die mit der Veränderung der Kapazitätsmodi am Standort i von Modus k¹ zu Modus k2 von Periode t-1 zu Periode t verbunden sind, können mit KAPWKik,k21

bezeichnet werden. In der Zielfunktion muss dann der folgende Term zusätzlich berücksichtigt werden:

I K K T

L L L L

KAPWKik,k,1 · max { 0, ^YP!,1-1 + YPt1 -1}

i=l k1=1 k2=l 1=2 k2,<k1

(3.56)

Für den Fall, dass der Modus gewechselt wird, nehmen beide Binärvariablen den Wert 1 an und die Kosten des Moduswechsels werden beachtet. Nimmt nur eine der beiden Entscheidungsvariablen den Wert 1 an, so wird durch die Subtraktion von l der gesamte Term 0 und es werden keine Wechselkosten berücksichtigt. Als letzter Fall können beide Entscheidungsvariablen den Wert 0 haben, dann wird das Maximum aus {0, ^-1} mit 0 gewählt und ebenfalls keine Kapazitätswechselkosten addiert. Die Nicht-linearität dieser Formulierung kann durch eine binäre Hilfsvariable, die den Wert eins annimmt, wenn in Periode t an Standort i der Modus k2 an Stelle des Modus k1 festge-legt wird, vermieden werden. Die Restriktionen (3.57) und (3.58) definieren diese Hilfsvariable, so dass diese dem zu maximierenden Ausdruck in der zu ergänzenden Zielfunktion (3.56) entspricht. Die Hilfsvariable ersetzt folglich den zu maximierenden Ausdruck und ^führt somit zu einer linearen Zielfunktion.

(3.57) hilf;k,k,t ^E {0,1} Vi,k„k2

*

^{k1, t = 2, ... , T}

hilf;k,k,t

=

0 Vi,k1,k2

=

k1, t ⁼ 2, ... , T (3.58)

Periodenübergreifende Lagerung

Um der Mehrperiodigkeit Rechnung zu tragen, kann periodenübergreifende Lagerung im Lager bzw. Warenverteilzentrum j im Modell berücksichtigt werden. Dies ist insbesondere dann sinnvoll, wenn eine stark schwankende, etwa saisonale Nachfrage starke Überkapazitäten hervorruft. In einem ersten Schritt ist dazu eine weitere Ent-scheidungsvariable bestp;1 erforderlich, die angibt, wie viele Einheiten des Produktes p am Ende der Periode t in Lager j sind. ¹⁴² Die Restriktion (3.59) beschreibt die Lagerbi-lanzgleichung, die beinhaltet, dass der Lagerbestand am Ende der Vorperiode zuzüg-lich der an das Lager gelieferten Mengen dieser Periode genauso groß sein muss wie

142 Vgl. zu diesem Vorgeben etwa Amtzen et al. (1995), S. 88; FandeVStammen (2004), S. 302.

der Lagerbestand am Ende dieser Periode zuzüglich der aus dem Lager gelieferten Mengen der Produkte in dieser Periode.

1 C

bestpjH +

L

^{XPpijt =}

L

^{xlpjct + bestpjt Vp,j,t (3.59)}

i=l c=l

Ein Anfangslagerbestand bestp;o ist zu definieren und die Kapazitäten der Lager j sind ebenfalls geeignet zu berücksichtigen, etwa in Anlehnung an die Restriktion (3.48).

Sicherheitsbestände können in Form einer Mindestlagermenge erfasst werden. Die Kosten der Lagerhaltung können etwa mit einem zur Lagerhaltungsmenge am Ende der Periode t proportionalen durchschnittlichen Lagerhaltungskostensatz in der Ziel-funktion berücksichtigt werden.¹⁴³

Mehrperiodige Modelle zum Supply Chain Design sind insbesondere dann sinnvoll, wenn saisonal stark schwankende Nachfrage in den verschiedenen Perioden vorliegt und infolgedessen der Lagerhaltung eine große Bedeutung zukommt, um auf diese Weise der Planung großer Überkapazitäten entgegenzuwirken. Im Rahmen der vorlie-genden Arbeit soll diese Problemstellung nicht weiter betrachtet werden. Eine Erfas-sung ist auf die vorgestellte Weise, falls erforderlich, möglich. Im folgenden Kapitel wird die Berücksichtigung der Zulieferer im Rahmen des Supply Chain Design disku-tiert und dabei insbesondere auf Verfahren und Kriterien zur Bewertung und Auswahl von Zulieferern eingegangen. Es werden beschaffungssituationsabhängige Auswahl-kriterien für Zulieferer entwickelt und auf die Quantifizierung dieser Kriterien zur Berücksichtigung in mathematischen Modellen eingegangen. Der Schwerpunkt liegt im folgenden vierten Kapitel auf der Betrachtung der Zulieferer, da diese in der Regel im Gegensatz zu Kunden ausgewählt werden können. Im anschließenden fünften Kapitel erfolgt dann eine Erweiterung der hier entwickelten Modelle im Hinblick auf die Konfiguration einer Supply Chain unter Unsicherheit.

143 Vgl. etwa Alonso-Ayuso et al. (2003), S. 106.

4 Die Berücksichtigung der Zulieferer im Supply Chain Design

Im Dokument Supply Chain Design (Seite 92-99)