Regularit¨ at am Rand

Wir untersuchen in diesem Abschnitt das Randverhalten der biholomorphen Abbildungf : Ω →D im Riemannschen Abbildungssatz. Am Anfang steht eine einfache Beobachtung die ohne jede Einschr¨ankung f¨ur jedes Ω gilt.

Definition 5.20. Sei Ω ⊂ C offen und (zn)n∈N eine Folge in Ω. Wir sa-gen z_n konvergiert gegen den Rand von Ω wenn f¨ur jede kompakte Teilmenge K⊂Ωeine Zahl n0 ∈N existiert, so dass f¨ur allen∈N gilt

n≥n₀ =⇒ z_n∈Ω\K.

Wenn diese Bedingung erf¨ullt is schreiben wir abk¨urzend z_n−→∂Ω.

Ubung 5.21.¨ Eine Folgezn ∈Ω konvergiert genau dann gegen den Rand von Ω wenn sie keine Teilfolge hat, die gegen ein Element von Ω konvergiert.

Ubung 5.22.¨ Seif : Ω→ Ω ein Hom¨e oomorphismus zwischen zwei offenen Teilmengen vonC und sei (z_n)n∈N eine Folge in Ω. Dann gilt

z_n−→∂Ω ⇐⇒ f(z_n)−→∂Ωe Ubung 5.23.¨ F¨ur jede Folge (z_n)n∈N inDgilt

z_n−→∂D ⇐⇒ lim

n→∞|z_n|= 1.

Satz 5.24. Sei Ω⊂C eine offene Menge und f : Ω → D ein Hom¨ oomor-phismus. Dann gilt f¨ur jede Folge (z_n)n∈N in Ω, dass

z_n−→∂Ω ⇐⇒ lim

n→∞|f(z_n)|= 1.

Beweis. Ubung 5.22 und ¨¨ Ubung 5.23.

So elementar dieser Satz auch erscheinen mag, stellt er sich doch als sehr n¨utzlich heraus. Er gibt uns eine erste Information ¨uber das Verhalten von gegen den Rand konvergierenden Folgen unter unserer biholomorphen Abbildung. Unser Ziel in diesem Abschnitt ist es jedoch, eine wesentlich st¨arkere Aussage zu beweisen f¨ur offene Mengen mit besonders regul¨arem Rand. Dazu ben¨otigen wir das Schwarzsche Spiegelungsprinzip.

5.4. REGULARIT ¨AT AM RAND 161 Das Schwarzsche Spiegelungsprinzip

Sei Ω⊂Ceine zusammenh¨angende offene Menge, die symmetrisch ist unter Konjugation, das heisst

z∈Ω ⇐⇒ z¯∈Ω. (5.12)

Wir bezeichnen die obere H¨alftevon Ω mit

Ω⁺:= Ω∩H={z∈Ω|Imz >0}. (Siehe Abbildung 5.1.)

Ω

⁺

Abbildung 5.1: Ein spiegelsymmetrisches Gebiet

Satz 5.25 (Schwarz). Sei f : Ω⁺→C eine holomorphe Funktion, so dass lim

Ω⁺3z→xRef(z) = 0 ∀x∈Ω∩R. (5.13) Dann gibt es eine holomorphe Funktion fe: Ω→C so dass

fe|_Ω+ =f, fe(¯z) =−fe(z) ∀z∈Ω. (5.14) Beweis. Seiu:= Ref : Ω⁺→Rund definiere eu: Ω→Rdurch

u(z) :=e







u(z), falls Imz >0, 0, falls Imz= 0,

−u(¯z), falls Imz <0.

Dann folgt aus unserer Voraussetzung (5.13), dass uestetig ist.

Behauptung 1. eu ist harmonisch, das heisst ue : Ω → R ist eine C² -Funktion und erf¨ullt in Ω die Laplace-Gleichung

∆ue:= ∂²eu

∂x² + ∂²ue

∂y² = 0.

Behauptung 2.Es gibt eine harmonische Funktion ev: Ω→R so dass

∂ev

∂x =−∂ue

∂y, ∂ev

∂y = ∂eu

∂x, in Ω, (5.15)

v(¯ez) =ev(z) ∀z∈Ω, (5.16) v(z) = Ime f(z) ∀z∈Ω⁺. (5.17) Die Aussage von Satz 5.25 folgt aus diesen Behauptungen mitfe:=eu+iev.

Wir beweisen Behauptung 1. Die Funktionueist offensichtlich harmonisch auf Ω\R. Sei also x₀ ∈Ω∩R. Wir w¨ahlenr >0 so dassB_r(x₀)⊂Ω ist und definierenub:B_r(x₀)→Rdurch u(z) :=b eu(z) f¨urz∈∂B_r(x₀) und durch

u(z) :=b 1 2π

Z _π

−π

r²− |z−x0|²

|x₀+re^it−z|²u(xe ₀+re^it)dt, z∈B_r(x₀). (5.18) Diese Funktion ist harmonisch inBr(z0) und stetig aufBr(x0) (Satz A.11).

Ausserdem gilt

bu(z) = 0 ∀z∈Br(x0)∩R,

denn f¨urz=x∈Rist der Integrand in (5.18) eine ungerade Funktion vont.

Daraus folgt, dassub−ueauf Br(x0)∩Hharmonisch ist und auf dem Rand diese Gebietes verschwindet. Ebenso f¨ur den unteren Halbkreis von Br(x0).

Nach dem Maximumprinzip f¨ur harmonische Funktionen (Satz A.5) stimmen euundubaufBr(x0) ¨uberein, and daher isteuauf diesem Gebiet harmonisch.

Dax0 ∈Ω∩Rbeliebig geq¨ahlt war, folgt daraus Behauptung 1.

Wir beweisen Behauptung 2. Die Funktion ev ist auf Ω\Rdurch (5.16) und (5.17) eindeutig bestimmt und erf¨ullt dort auch die Bedingung (5.15), nach Satz 2.13. Wir w¨ahlen nunx₀ undr wie im Beweis der Behauptung 1.

F¨urζ =ξ+iη∈Cmit|ζ|< r betrachten wir die Funktion

ev(x₀+ζ) :=c+ Z 1

0

η∂ue

∂x(x₀+tζ)−ξ∂eu

∂y(x₀+tζ)

dt.

Diese Funktion erf¨ullt die Gleichung (5.15), nach ¨Ubung 2.46. Daraus folgt, dassev−Imf inBr(z0)∩Hkonstant ist. Wir k¨onnen also cso w¨ahlen, dass ev= Imf ist in Br(z0)∩H. Damit erf¨ulltev also (5.15) und (5.17) inBr(z0).

Nun betrachten wir die folgenden FunktionenU, V :B_r(x₀)→R: U(x, y) :=eu(x, y) +u(x,e −y), V(x, y) :=ev(x, y)−ev(x,−y).

5.4. REGULARIT ¨AT AM RAND 163 Da eu und ev die Cauchy-Riemann-Gleichungen in Br(x0) erf¨ullen, gilt dies auch f¨urU und V. Nun ist aber U ≡0 und darus folgt, dass V in Br(x0) konstant ist. DaV(x,0) = 0 ist folgt darausV ≡0. Damit erf¨ulltevauch die Bedingung (5.16) in Br(x0). Wir haben also gezeigt dass sich die Funktion

Ω\R→C:z7→

Imf(z), falls Imz >0, Imf(¯z), falls Imz <0,

zu einer harmonischen Funktion auf (Ω\R)∪B_r(x₀) fortsetzten l¨asst, die dort (5.15), (5.16) und (5.17) erf¨ullt. Da x0 ∈ Ω∩R beliebig gew¨ahlt war, folgt daraus Behauptung 2. Damit ist der Satz bewiesen.

Bemerkung 5.26. Im Beweis von Satz 5.25 ist es n¨otig, auf die Theorie der harmonischen Funktionen zur¨uckzugreifen, weil wir keinerlei Bedingungen an das Verhalten des Imagin¨arteils vonf(z) f¨urz→x∈Ω∩Rstellen. Falls dieser Limes f¨ur jedesxexistiert, so folgt daraus, dass die durchfe(z) :=f(z) f¨ur Imz >0 und fe(z) :=−f(¯z) f¨ur Imz < 0 definierte Funktion auf Ω\R sich auf Ω stetig fortsetzen l¨asst, und dann kann man mit Hilfe von Satz 4.12 beweisen, dass diese Fortsetzung holomorph ist.

Ubung 5.27.¨ Welche Schlussfolgerung ergibt sich in Satz 5.25 wenn der Realteil vonf(z) in (5.13) durch den Imagin¨arteil ersetzt wird?

Ubung 5.28.¨ Sei f :C→ C eine holomorphe Funktion so dass f(R)⊂ R und f(iR) ⊂ iR ist. Zeigen Sie, dass f ungerade ist (das heisst f(−z) =

−f(z) f¨ur alle z∈C).

Ubung 5.29.¨ Sei Ω ⊂ C eine offene Menge, die (5.12) erf¨ullt. Dann l¨asst sich jede holomorphe Funktionf : Ω→Cals Summef =f₁+if₂schreiben, wobei jedes fi eine holomorphe Funktion auf Ω mitfi(Ω∩R)⊂Rist.

Ubung 5.30.¨ Seif :H→Ceine beschr¨ankte holomorphe Funktion so dass limz→xRef(z) = 0 ist f¨ur alle x∈R. Dann istf konstant.

Ubung 5.31.¨ Seif :D→Ceine holomorphe Funktion, die der Bedingung lim

z→e^iθ|f(z)|= 1 ∀θ∈R

gen¨ugt. Beweisen Sie, dass f rational ist. Hinweis: Beweisen Sie zuerst, dass eine holomorphe Funktion fe:C→ C existiert, die aufD mit f ¨ uber-einstimmt und die Bedingung

fe(1/¯z) = 1/fe(z) ∀z∈C\ {0}

erf¨ullt.

Regularit¨at am Rand

Definition 5.32. Sei Ω ⊂ C eine offene Menge. Ein Randpunkt ζ ∈ ∂Ω heisstregul¨ar wenn es eine offene Umgebung U ⊂C von ζ und eine injek-tive holomorphe Funktion φ:U →Cgibt so dass

φ(U ∩Ω) =φ(U)∩H, φ(U ∩∂Ω) =φ(U)∩R. (5.19) (Siehe Abbildung 5.2.)

U φ ζ

Abbildung 5.2: Ein regul¨arer Randpunkt

Satz 5.33. SeiΩ⊂Ceine zusammenh¨angende einfach zusammenh¨angende offene Menge und

Γ :={ζ ∈∂Ω|ζ ist regul¨ar}

die Menge der regul¨aren Randpunkte. Ist f : Ω→Deine biholomorphe Ab-bildung, so existiert eine offene MengeΩe ⊂Cund eine injective holomorphe Abbildungfe:Ωe →C so dass Ω∪Γ⊂Ωe und fe|_Ω=f ist.

Beweis. Der Beweis hat vier Schritte.

Schritt 1.F¨ur jedes ζ ∈Γ gibt es eine offene UmgebungUζ⊂Cvonζ und eine injektive holomorphe Funktionf_ζ : Ω∪U_ζ →Cso dass

∂Ω∩U_ζ⊂Γ, f_ζ|_Ω =f, und, f¨ur allez∈Ω∪Uζ,

z∈Ω ⇐⇒ |f_ζ(z)|<1, z∈∂Ω ⇐⇒ |f_ζ(z)|= 1, z /∈Ω ⇐⇒ |f_ζ(z)|>1.

(5.20)

Insbesondere l¨asst sichf stetig aufΩ∪Γ fortsetzen und wir definieren C:=

z→ζlimf(z)

ζ ∈Γ

={f_ζ(ζ)|ζ ∈Γ} ⊂S¹. (5.21)

5.4. REGULARIT ¨AT AM RAND 165 Sei U ⊂ C eine offene Umgebung von ζ und φ : U → C eine injektive holomorphe Funktion wie in Definition 5.32 so dass (5.19) gilt. Wir k¨onnen U undφ so w¨ahlen, dass

φ(U) =D, φ(ζ) = 0, z₀:=f⁻¹(0)∈/ U. (5.22) Dazu verkleinern wir U, wenn n¨otig, so dassz0 ∈/ U und φ(U) =Bε(φ(ζ)) eine kleine Kreisscheibe mit Mittelpunktφ(ζ) ist, und ersetzen dannφdurch die Abbildung z 7→ (φ(z)−φ(ζ))/ε. Dann erf¨ullt die neue Abbildung die Bedingungen (5.22). Mit dieser Wahl von U und φist

f(φ⁻¹(t))6= 0 ∀t∈D∩H.

DaD∩Heinfach zusammenh¨angend ist, existiert nach Satz 4.17 eine holo-morphe Funktion g:D∩H→C so dass

e^g=f◦φ⁻¹|_D∩H. Nach Satz 5.24 gilt

limt→x t∈D∩H

f(φ⁻¹(t))

= 1 ∀x∈D∩R.

Da

f(φ⁻¹(t))

=e^Reg(t) ist, folgt daraus limt→x

t∈D∩H

Reg(t) = 0 ∀x∈D∩R.

Nach Satz 5.25 existiert also eine holomorphe Funktion ge : D → C deren Einschr¨ankung auf D∩H gleich g ist. Wir definieren nun U_ζ := U und fζ : Ω∪Uζ →Cdurch

fζ(z) :=

e^eg(φ(z)), f¨urz∈Uζ,

f(z), f¨urz∈Ω. (5.23) Diese Funktion ist wohldefiniert, da die beiden Ausdr¨ucke auf Ω∩U_ζ ¨ uber-einstimmen, und sie ist offensichtlich holomorph. Wir definieren nun einen Diffeomorphismus

τ_ζ :U_ζ →U_ζ, τ_ζ(z) :=φ⁻¹

φ(z)

.

Dies enspricht der komplexen Konjugation auf φ(U) =D. Insbesondere ist τ_ζ eine Involution, das heisst τ_ζ◦τ_ζ = id, und es folgt aus (5.19), dass f¨ur allez∈Uζ gilt:

z∈Uζ∩Ω ⇐⇒ φ(z)∈H ⇐⇒ τζ(z)∈Uζ\Ω,

z∈U_ζ∩∂Ω ⇐⇒ φ(z)∈R ⇐⇒ τ_ζ(z) =z, (5.24)

Daeg die Symmetriebedingung eg ¯t

=−eg(t) ∀t∈D erf¨ullt, erhalten wir

f_ζ(τ_ζ(z)) = 1

f_ζ(z) ∀z∈U_ζ. (5.25) Es folgt sofort aus (5.23), (5.24), und (5.25) dass f_ζ die Bedingung (5.20) erf¨ullt. Es folgt wiederum aus (5.20) und (5.25), dassf_ζ injektiv ist ( ¨Ubung).

Damit haben wir Schritt 1 bewiesen.

Schritt 2.SeiC wie in Schritt 1. Dann existiert eine offene MengeW ⊂C und eine holomorphe Funktion Fe:W →C so dass

D⊂W, W ∩S¹ =C, Fe|_D=f⁻¹ (5.26) und, f¨ur allew∈W,

|w|<1 ⇐⇒ Fe(w)∈Ω,

|w|= 1 ⇐⇒ Fe(w)∈∂Ω,

|w|>1 ⇐⇒ Fe(w)∈/Ω.

(5.27)

F¨ur jedes ζ ∈Γ k¨onnen wir die UmgebungUζ in Schritt 1 so w¨ahlen, dass V_ζ :=f_ζ(U_ζ) =B_εζ(f_ζ(ζ))

ist f¨ur eine geeignete Konstante ε_ζ >0. Dann stimmt die Abbildung f_ζ⁻¹:D∪V_ζ →Ω∪U_ζ

auf V_ζ ∩D mit f⁻¹ uberein. Ausserdem ist die Menge¨ V_ζ ∩V_ζ⁰ ∩D f¨ur ζ, ζ⁰∈Γ der Durchschnitt dreier Kreisscheiben, zwei davon mit Mittelpunkt auf dem Rand der dritten. (Siehe Abbildung 5.3.) Dieser Durchschnitt ist einerseits zusammenh¨angend, und andererseits ist er genau dann nichtleer, wennnVζ∩V_ζ⁰ 6=∅ist. (WennVζ∩V_ζ⁰ 6=∅ist, enth¨alt die Gerade durchfζ(ζ) undf_ζ⁰(ζ⁰) ein Element von V_ζ∩V_ζ⁰∩D.) Daraus folgt, nach Korollar 3.57, dass

f_ζ⁻¹(w) =f_ζ⁻¹0 (w) ∀w∈Vζ∩Vζ⁰ ∀ζ, ζ⁰ ∈Γ.

SeiFe:W →Cdefiniert durch W :=D∪ [

ζ∈Γ

V_ζ, Fe(w) :=

f⁻¹(w), f¨urw∈D, f_ζ⁻¹(w), f¨urw∈V_ζ.

5.4. REGULARIT ¨AT AM RAND 167

V V

ζ

ζ’

D

Abbildung 5.3: Drei Kreisscheiben

Dies ist eine wohldefinierte holomorphe Funktion auf einer offenen Menge W ⊂ C mit D∪C ⊂ W, die auf D mit f⁻¹ ¨ubereinstimmt. Dass diese Funktion die Bedingung (5.27) erf¨ullt, folgt sofort aus (5.20). Wir bemerken noch, dass

W ∩S¹= [

ζ∈Γ

V_ζ∩S¹ =C ist, denn f¨ur jedesζ ∈Γ gilt

V_ζ∩S¹ =f_ζ(U_ζ∩∂Ω) =f_ζ(U_ζ∩Γ)⊂C

und f¨ur jedesw∈C existiert einζ ∈Γ mitw=f_ζ(ζ)∈V_ζ∩S¹. Damit gilt auch (5.26) und wir haben Schritt 2 bewiesen.

Schritt 3. Die Einschr¨ankung vonFe auf D∪C ist injektiv.

Seien w, w⁰ ∈D∪C mit Fe(w) =Fe(w⁰). Ist w∈D so folgt aus (5.27), dass w⁰ ∈Dist und daher gilt

w=f(Fe(w)) =f(Fe(w⁰)) =w⁰.

Ist w∈C so folgt aus (5.26) und (5.27), dass w⁰ ∈W ∩S¹ =C ist. Daher gibt es Punkte ζ, ζ⁰ ∈Γ mit

w=f_ζ(ζ), w⁰ =f_ζ⁰(ζ⁰).

Nach Definition von Fe gilt

ζ =f_ζ⁻¹(w) =Fe(w) =Fe(w⁰) =f_ζ⁻¹0 (w⁰) =ζ⁰ und daraus folgt w=w⁰. Damit haben wir Schritt 3 bewiesen.

Schritt 4. Es gibt eine offene TeilmengeWf ⊂W so dass D∪C ⊂Wf und Fe|

fW injektiv ist.

DaC eine relativ offene Teilmenge von S¹ ist, istD∪C eine relativ offene Teilmenge vonD. Daraus folgt, dass die Menge

Kn:=

z∈D∪C|B_1/n(z)∩D⊂D∪C

kompakt ist ( ¨Ubung). Damit haben wir eine wachsende Folge kompakter MengenK_n⊂D∪C deren Vereinigung D∪C ist.

Behauptung:Es gibt eine Folge offener TeilmengenW_n⊂C, die f¨ur jedes n∈N die folgenden Bedingungen erf¨ullen

Wn−1∪K_n⊂W_n, W_n⊂W, Fe|_W

n ist injektiv. (5.28) F¨ur n = 0 setzen wir W₀ := ∅. Wir nehmen an, dass W_n ⊂ C konstruiert wurde so dass (5.28) gilt. Dann gilt:

Fe ist injektiv auf W_n∪K_n+1. (5.29) Seienw, w⁰ ∈Wn∪Kn+1 mitFe(w) =Fe(w⁰). Ist w∈Dso gilt nach (5.27), dassFe(w⁰) =Fe(w)∈Ω∪∂Ω ist und daher gilt auchw⁰ ∈D. Also sindw, w⁰ beide in D∩W =D∪C und daraus folgt nach Schritt 3, dass w=w⁰ ist.

Im Fallw /∈Dfolgt aus (5.27), dassw⁰ auch nicht inDliegt. Also sind dann w, w⁰ beide in W_n und es folgt aus (5.28), dassw=w⁰ ist. Damit haben wir gezeigt, dassFe aufWn∪Kn+1 injektiv ist, wie behauptet.

Wir zeigen nun, dass eine offene Menge Wn+1 ⊂ C existiert, die die Bedingung (5.28) mitn+ 1 stattnerf¨ullt. Die entscheidende Bedingung ist dabei, dass Fe auf W_n+1 injektiv ist; die anderen beiden Bedingungen sind nach Lemma 3.42 f¨ur jede hinreichend kleine ε-Umgebung von Wn∪Kn+1

erf¨ullt. Wenn es also eine solche offene Menge W_n+1 nicht gibt, existieren Folgenz_ν, w_ν ∈W so dass

Fe(z_ν) =Fe(w_ν), z_ν 6=w_ν, B_1/ν(zν)∩ Wn∪Kn+1

6=∅, B_1/ν(wν)∩ Wn∪Kn+1

6=∅.

Durch ¨Ubergang zu Teilfolgen k¨onnen wir ohne Beschr¨ankung der Allge-meinheit annehmen, dassz_ν gegen z^∗ und w_ν gegen w^∗ konvergiert. Damit erhalten wir zwei Elemente

z^∗, w^∗ ∈W_n∪K_n+1, Fe(z^∗) =Fe(w^∗).

Nach (5.29) folgt daraus w^∗ = z^∗. Nun ist aber die Einschr¨ankung von Fe auf eine hinreichend kleine Umgebung von z^∗ nach Konstruktion injektiv.

5.4. REGULARIT ¨AT AM RAND 169 Daraus folgtzν =wν f¨ur hinreichend grosseν, im Widerspruch zu der Wahl unserer Folgen. Damit haben wir die Existenz der Folge offener MengenWn, die die Bedingung (5.28) erf¨ullen, bewiesen. Nun definieren wir einfach

Wf := [

n∈N

W_n.

Nach (5.28) ist dies eine offene Teilmenge von W so dass D∪C = [

n∈N

K_n⊂fW

und die Einschr¨ankung vonFeaufWf ist injektiv. Damit haben wir Schritt 4 bewiesen. Ist fW wie in Schritt 4, so erf¨ullen

Ω :=e Fe(fW), fe:=Fe⁻¹ die Behauptungen des Satzes.

Ubung 5.34.¨ Sei Ω( Ceine nichtleere zusammenh¨angende einfach zusam-menh¨angende offene Menge und f : Ω→Deine biholomorphe Abbildung.

(a) Erf¨ullt Ω die Symmetriebedingung

z∈Ω ⇐⇒ z¯∈Ω

und ist z₀ :=f⁻¹(0)∈Rund f⁰(z₀)>0, so gilt f(¯z) =f(z).

(b) Sei Ω symmetrisch bez¨uglich z0=f⁻¹(0):

z₀+ζ ∈Ω ⇐⇒ z₀−ζ ∈Ω Was kann man ¨uber f sagen?

(c) Sei G eine Gruppe die auf Ω durch biholomorphe Abbildungen wirkt.

Formulieren Sie genau, was das heisst, und beweisen Sie, dass es eine biholo-mophe Wirkung von G auf Dgibt so dassf eine G-equivariante Abbildung ist. Formulieren Sie eine ¨ahnliche Aussage f¨ur eine Gruppenwirkung durch holomorphe und anti-holomorphe Diffeomorphismen.

Im Dokument 22.November2019 DietmarA.SalamonETHZ¨urich FUNKTIONENTHEORIE (Seite 166-176)