Der Riemannsche Abbildungssatz erlaubt es uns, beliebig komplizierte offe-ne Teilmengen von Cbiholomorph auf die Einheitskreisscheibe abzubilden, solange sie nur einfach zusammenh¨angend, nichtleer, und nicht gleichCsind.
Man kann sich nun fragen ob eine ¨ahnliche Vereinfachung auch m¨oglich ist f¨ur offene Mengen, die nicht einfach zusammenh¨angend sind. Wir betrachten zun¨achst zusammenh¨angende offene Teilmengen der komplexen Ebene, de-ren Komplemente inCgenau zwei Zusammenhangskomponenten haben. Sol-che Mengen heissenzweifach zusammenh¨angend. (Siehe Abbildung 5.6.)
Abbildung 5.6: Eine zweifach zusammenh¨angende Menge
Satz 5.46. Sei Ω⊂C eine zweifach zusammenh¨angende offene Menge, so dass jede Komponente vonC\Ωmehr als einen Punkte enth¨alt. Dann gibt es reelle Zahlen0< r < R <∞ und eine biholomorphe Abbildung
f : Ω→U :={w∈C|r <|w|< R}.
Der QuotientR/r ist durchΩeindeutig bestimmt. Die Abbildungf ist durch Ωbis auf Komposition mit einem holomorphen Automorphismusφ:U →U eindeutig bestimmt. Jeder solche Automorphismus hat die Form
φ(w) =eiθw oder
φ(w) =eiθrR w f¨ur ein θ∈R.
5.7. KREISRINGE 181 Sei Ω⊂Ceine zweifach zusammenh¨angende Menge und seienA0undA1
die Zusammenhangskomponenten von C\Ω. Wir nehmen an, dass A1 den Punkt ∞ enth¨alt, und durch Translation k¨onnen wir ebenfalls annehmen, dass der Ursprung in A0 enthalten ist:
0∈A0, ∞ ∈A1.
Insbesondere ist A0 eine kompakte Teilmenge von C (siehe Lemma 1.20).
Sind beide MengenA0 und A1 einpunktig, so ist Ω =C∗=C\ {0}. Ist eine der MengenA0 undA1nicht einpunktig, so k¨onnen wir annehmen, dass dies A1ist. (Andernfalls ersetzen wir einfach Ω durch ihr Bild unter der Transfor-mationz7→1/z.) Dann ist Ω∪A0eine nichtleere zusammenh¨angende einfach zusammmenh¨angende offene Teilmenge von C, die nicht gleich ganz C ist.
Daher gibt es nach dem Riemannschen Abbildungssatz eine biholomorphe Abbildung von Ω∪A0 nachD, die den Nullpunkt festh¨alt. IstA0 einpunktig, so folgt daraus, dass Ω zur punktierten Kreisscheibe D\ {0} biholomorph ist. Andernfalls ist das Bild von Ω∪A1 unter der Inversionz7→1/z wieder eine nichtleere zusammenh¨angende einfach zusammenh¨angende offene Teil-menge vonC, die nicht gleichCist und kann daher wieder biholomorph auf D abgebildet werden. Nach diesen beiden Transformationen ist Ω⊂Deine offene Menge mit regul¨arem Rand
∂Ω = Γ0∪Γ1,
wobei Γ1 = S1 ist und Γ0 das Bild einer reell analytischen Einbettung γ0:R/Z→D ist. Wir w¨ahlen γ0 so dass Ω rechts von Γ0 liegt, und defi-nierenγ1 :R/Z→Cdurch γ1(t) :=e2πit. Dann ist
Ω ={z∈C\(Γ0∪Γ1)|w(γ0, z) = 0,w(γ1, z) = 1}.
Die zweite Randkomponente kann immer noch eine sehr komplizierte Men-ge sein und hier schafft auch der Riemannsche Abbildungssatz keine Abhil-fe. Wir ben¨otigen zu einer weiteren Vereinfachung unserer zweifach zusam-menh¨angenden offenen Menge ein zus¨atzliches Resultat aus der Analysis.
Dies ist der Existenzsatz f¨ur L¨osungen des Dirichletproblems (Satz A.22).
Dieser Satz garantiert die Existenz einer stetiger Funktionen u: Ω→R
die auf Ω harmonisch ist und die Randbedingung u(z) =
0, f¨urz∈Γ0, 1, f¨urz∈Γ1, erf¨ullt.
Wir w¨ahlen nun eine reelle Zahl ρ so dass maxz∈Γ0|z|< ρ <1 ist, und betrachten den Zyklusγρ: [0,1]→Ω, der durch
γρ(t) :=ρe2πit
gegeben ist. Nach Beispiel 4.25 mit n = 1 ist jeder Zyklus in Ω zu einem ganzzahligen Vielfachen vonγρ homolog. Wir betrachten die reelle Zahl
α:=
Z
γρ
∗du= 2πρ Z 1
0
∂u
∂x(γρ(t)) cos(2πt) +∂u
∂y(γρ(t)) sin(2πt)
dt.
(Siehe Anhang A f¨ur die Definition von∗du.) Lemma 5.47. α >0.
Beweis. Wir zeigen zun¨achst, dassα6= 0 ist. Andernfalls folgt aus Satz A.1, dass u der Realteil einer holomorphen Funktion f : Ω → C ist. Wie im Beweis von Satz 5.33 l¨asst sich f zu einer holomorphen Funktion auf einer Umgebung von Ω fortsetzen (siehe auch Lemma 5.53). Diese Fortsetzung hat den Realteil 0 auf Γ0 und 1 auf Γ1. F¨ur a ∈ C mit Rea /∈ {0,1} gilt daher
Re (f(z)−a)6= 0 ∀z∈Γ0∪Γ1.
Daraus folgt, dass die Windungszahlen w(f ◦γ0, a) und w(f ◦γ1, a) ver-schwinden. Also ist
w(f ◦γ1, a)−w(f◦γ0, a) = 0
und damit folgt aus dem Prinzip vom Argument (Satz 4.64 und Lemma 4.65) dassf−akeine Nullstelle in Ω hat. Also hatf(z) f¨ur jedesz∈Ω den Realteil 0 oder 1. Damit ist Ref konstant. Also istf konstant, im Widerspruch dazu, dass Ref(z) gleich 0 ist f¨urz∈Γ0 und gleich 1 ist f¨urz∈Γ1. Damit haben wir gezeigt, dassα6= 0 ist.
Die Zahlα ist nach der Diskussion im Abschnitt A.1 unabh¨angig von ρ und der Beweis von Satz A.2 zeigt, dass
d dρ
Z 1 0
u(γρ(t))dt= α ρ
ist f¨ur 1−ε < ρ <1 und ε hinreichend klein. Nach dem Maximumprinzip in Satz A.5 gilt 0 ≤ u ≤ 1. Also erreicht das Integral von u ◦γρ seinen maximalen Wert an der Stelle ρ = 1. Daraus folgt, dass α ≥0 sein muss.
Daα6= 0 ist, gilt alsoα >0, was zu beweisen war.
5.7. KREISRINGE 183 resultierende Abbildung f : Ω→U, mit
U :={w∈C|r <|w|< R}, r :=e−2παu(z0), R:=e2πα(1−u(z0)), (5.48) ist ein holomorpher Diffeomorphismus.
Beweis. Wir betrachten die holomorphe Funktion g:= 2π
(Siehe ¨Ubung 2.47.) Das Integral von g entlang einer st¨uckweise glatten Kurveγ : [0,1]→Ω mitγ(0) =z0 und γ(1) =z ist
Nach Definition von α ist das Integral von g uber jeder st¨¨ uckweise glatten geschlossenen Kurve in Ω ein ganzzahliges Vielfaches von 2πi. Daher sieht man wie im Beweis von Satz 3.17, dass das Integral vong uber einer st¨¨ uck-weise glatten Kurve bis auf ein ganzzahligen Vielfaches von 2πi nur von den Endpunkten dieser Kurve abh¨angt. Daraus folgt wiederum, dass der Ausdruck exp(R
γg(ζ)dζ) nur von den Endpunkten z0 und z der Kurve γ abh¨angt. Es ist in diesem Fall gebr¨auchlich und hilfreich, den Ausdruck in der Form
zu schreiben wobei hier γ : [0,1]→ Ω als st¨uckweise glatte Kurve gew¨ahlt ist, die die Randbedingung (5.47) erf¨ullt. Mit anderen Worten, der Ausdruck Rz
z0 steht stellvertretend f¨ur das Integral ¨uber einer Kurve die z0 und z miteinander verbindet. Dass die Funktion z 7→ exp(Rz
z0g(ζ)dζ) holomorph ist folgt aus dem Beweis von Satz 3.17. Damit ist gezeigt, dass f : Ω → C eine wohldefinierte holomorphe Funktion ist. Nach Satz A.5 ist 0< u(z)<1 f¨ur alle z∈Ω und daher ist das Bild vonf in U enthalten.
Da der Rand von Ω regul¨ar ist, und
z→ζlim|f(z)|=
r, f¨urζ ∈Γ0, R, f¨urζ ∈Γ1,
folgt wie im Beweis von Satz 5.33, dass f sich auf eine Umgebung von Ω holomorph fortsetzen l¨asst (siehe auch Lemma 5.53). In dieser Umgebung sindγ0 und γ1 homolog zuγρ. Ausserdem gilt
f0(z)
f(z) =g(z) = 2π α
∂u
∂x(z)−i∂u
∂y(z)
und damit folgt aus (5.49), dass die Windungszahl von f ◦γρ um den Ur-sprung gleich 1 ist:
w(f ◦γρ,0) = 1 2πi
Z
γρ
f0(ζ)dζ f(ζ)
= 1
2πi Z
γρ
g(ζ)dζ
= 1
α Z
γρ
∗du
= 1.
Also erhalten wir
w(f◦γ0,0) = w(f ◦γ1,0) = 1.
Da die Windungszahl vonf◦γi in jeder Komponente vom Komplement des Bildes dieser Kurve konstant ist (Lemma 3.25), und
f(Γ0)⊂ {|w|=r}, f(Γ1)⊂ {|w|=R}, erhalten wir die folgenden Windungszahlen:
w(f◦γ0, w) =
1, f¨ur |w|< r,
0, f¨ur |w|> r, w(f ◦γ1, w) =
1, f¨ur |w|< R, 0, f¨ur |w|> R.
Damit gilt
w(f◦γ1, w)−w(f◦γ0, w) = 1 ∀w∈U.
Also folgt aus dem Prinzip vom Argument, dass die Funktionf−wf¨ur jeden Punkt w∈U genau eine Nullstelle hat. Damit istf : Ω→U biholomorph, wie behauptet.
5.7. KREISRINGE 185 Lemma 5.49. (i) Zwei offene Kreisringe
U :={z∈C|r <|z|< R}, Ue :=
n
z∈C|er <|z|<Re o
mit 0 < r < R < ∞ und 0 < er < R <e ∞ sind genau dann biholomorph wenn
R/r=R/e er.
(ii) Sei U wie in (i). Dann hat jeder holomorphe Automorphismus von U die Form φ(z) =eiθz oder φ(z) =eiθrR/z f¨ur ein θ∈R.
Beweis. Sei
φ:U →Ue
ein holomorpher Diffeomorphismus. Der Beweis von Satz 5.33 zeigt, dass sich φ zu einer holomorphen Funktion auf einer offenen Umgebung von U fortsetzen l¨asst. Das gleiche gilt f¨ur φ−1. Also ist die Fortsetzung ein Hom¨oomorphismus, der die Randkomponente |z|=r entweder auf |w|=re oder auf |w|=Re abbildet. Wir nehmen ohne Beschr¨ankung der Allgemein-heit an, dass der erste Fall vorliegt. (Der zweite Fall l¨asst sich auf den ersten zur¨uckf¨uhren, indem wir diesen auf die Komposition vonφ mit dem Auto-morphismus U →U :z7→rR/z anwenden.) Dann gilt
w(γ,0) = w(φ◦γ,0) ∀γ ∈Z(U). (5.50) Dazu bezeichnen wir mit Γ die Bildmenge vonγ und w¨ahlena∈U so dass
r <|a|<min
z∈Γ|z|.
Sei γr : [0,1] → U die Kurve γr(t) := re2πit. Nach Beispiel 4.24 ist der Zyklus
γe:=γ−w(γ,0)γr
null-homolog in einer Umgebung vonU. Daher gilt w(φ◦eγ, φ(a)) = w(eγ, a),
nach dem Prinzip vom Argument (siehe Satz 4.64). Da die Windungszahlen w(γr, a) und w(φ◦γr, φ(a)) gleich Null sind, folgt daraus
w(φ◦γ, φ(a)) = w(γ, a).
Damit folgt (5.50) aus Lemma 3.25.
Wir betrachten nun die Funktionu:U →[0,1], die durch u(z) := log(|z|)−log(r)
log(R)−log(r)
gegeben ist. Dies ist eine harmonische Funktion, die die Randkomponente
|z|=r auf 0 und die Randkomponente|z|=R auf 1 abbildet. Also ist die Funktion
eu:=u◦φ−1:Ue →[0,1]
ebenfalls harmonisch, und l¨asst sich zu einer stetigen Funktion aud dem Abschluss vonUe fortsetzen, die auf |w|= er verschwindet und auf|w|=Re gleich 1 ist. Also folgt aus dem Eindeutigkeitssatz f¨ur L¨osungen des Dirich-letproblems (Korollar A.6), dass
u(φ−1(w)) =u(w) =e log(|w|)−log(er) log(R)e −log(er)
ist f¨ur alle w∈Ue. Daraus folgt durch direktes Ausrechnen die Gleichung 2π
log(R/r)w(γ,0) = Z
γ
∗du
= Z
φ◦γ
∗deu
= 2π
log(R/e r)e w(φ◦γ,0)
f¨urγ ∈Z(U). Mit (5.50) folgt daraus, dass er/r = R/Re =: λ ist. Wenden wir nun das Maximumprinzip auf die Funktion
U →C:z7→φ(z)/z
an, so erhalten wir|φ(z)/z| ≤λ. Das gleiche Argument f¨urz7→z/φ(z) zeigt, dass
|φ(z)/z|=λ
ist f¨ur alle z ∈ U und, nach Satz 3.67, ist die Funktion z 7→ φ(z)/z daher konstant. Damit ist das Lemma bewiesen.
Beweis von Satz 5.46. Die Existenzaussage folgt aus Lemma 5.48 und die Eindeutigkeit aus Lemma 5.49.