Die Taylorreihe

Wir k¨onnen nun umgekehrt vorgehen und mit einer holomorphen Funktion f : Ω → C auf einer offenen Teilmenge Ω ⊂ C beginnen und einen Punkt z0 ∈ Ω w¨ahlen. Wir wissen, nach Satz 3.34, dass f beliebig oft komplex differenzierbar ist. W¨aref durch eine Potenzreihe inz−z₀ gegeben, so w¨are dern-te Koeffizient dieser Reihe nach der bisherigen Diskussion gerade die Zahlan:=f⁽ⁿ⁾(z0)/n!. Die Potenzreihe

(T_z^∞₀f)(z) :=

∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(z₀)

n! (z−z₀)ⁿ (3.34) mit diesen Koeffizienten heisst Taylorreihe von f im Punkte z0. Die naheliegenden Fragen sind, ob der Konvergenzradius dieser Reihe positiv ist und, wenn ja, ob die Reihe auch gegenf konvergiert. Im Reellen h¨angt dies von der Funktionf ab und im allgemeinen sind beide Fragen zu verneinen.

Im Komplexen jedoch ist die Antwort auf beide Fragen positiv.

Satz 3.43 (Taylor). Sei Ω⊂C offen, f : Ω→ C holomorph, z0 ∈Ω und r >0 so dass B_r(z₀)⊂Ω. Dann gilt folgendes.

(i)F¨ur jedes n∈N existiert eine holomorphe Funktion fn: Ω→C so dass f(z) =

n−1

X

k=0

f^(k)(z0)

k! (z−z0)^k+fn(z)(z−z0)ⁿ (3.35) ist f¨ur allez∈Ω.

(ii)Sei fn wie in (i). Dann gilt f_n(z) =

Z 1 0

(1−t)ⁿ⁻¹

(n−1)! f⁽ⁿ⁾ z₀+t(z−z₀)

dt (3.36)

f¨ur jedes z ∈ B_r(z₀) und insbesondere f_n(z₀) =f⁽ⁿ⁾(z₀)/n!. Ist 0 < R < r und γR(t) :=z0+Re^2πit f¨ur0≤t≤1, dann gilt

f_n(z) = 1 2πi

Z

γR

f(ζ)dζ

(ζ−z₀)ⁿ(ζ−z) (3.37) f¨ur jedesz∈BR(z0).

(iii)Seiρ der Konvergenzradius der Taylorreihe (3.34). Dann istρ≥r und f(z) =

∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(z0)

n! (z−z0)ⁿ (3.38)

f¨ur jedesz∈B_r(z₀).

3.6. DIE TAYLORREIHE 71 Die letzte Aussage diese Satzes sagt, dass die Taylorreihe auf der gr¨ossten offenen Kreisscheibe umz0, die noch in Ω enthalten ist, konvergiert und dort auch mit der gegebenen Funktionf ¨ubereinstimmt. Der Beweis von Satz 3.43 beruht auf dem folgenden beiden Lemmas. Das erste ist aus der Analysis [6]

bekannt. Der Vollst¨andigkeit halber beweisen wir es aber hier nochmals.

Lemma 3.44. Sei n∈Nund φ: [0,1]→C eine Cⁿ-Funktion. Dann gilt Beweis. F¨ur n = 1 folgt (3.39) aus dem Fundamentalsatz der Differential-und Integralrechnung. Sei also n≥2. Wir nehmen an, dass die Behauptung f¨urn−1 bewiesen ist. Dann gilt f¨ur jedeCⁿ-Funktionφ: [0,1]→C

Die letzte Gleichung folgt durch partielles Integrieren.

Lemma 3.45. Seiz₀ ∈C und R >0. Dann gilt f¨ur allez, w ∈B_R(z₀) und

Nach Lemma 3.33 ist F_{k,`</sub> holomorph und F<sub>k,`}⁰ =kF<sub>k+1,`</sub>.Andererseits gilt f¨urk=`= 1 undz∈B_R(z₀)\ {w}

Daraus folgt durch Stetigkeit und vollst¨andige InduktionF_k,1 ≡0 f¨ur allek.

Aus Symmetriegrr¨unden ist daher auchF1,`≡0 f¨ur jedes `∈Nund daher, wieder durch vollst¨andige Induktion, F<sub>k,`</sub> ≡ 0 f¨ur alle k, ` ∈ N. Damit ist das Lemma bewiesen.

Beweis von Satz 3.43. Sei z∈Br(z0). Wir definieren φ: [0,1]→Cdurch φ(t) :=f(z0+t(z−z0)), 0≤t≤1.

Dies ist eineC^∞-Funktion, nach Satz 3.34, und φ^(k)(t) =f^(k) z0+t(z−z0) Nun ist die durch (3.36) definierte Funktion

f_n:B_r(z₀)→C

holomorph (Lemma 3.33). Definieren wir also f_n : Ω→ C durch (3.36) f¨ur z∈Br(z0) und durch

Hier folgt die zweite Gleichung aus Lemma 3.45. Damit sind (i) und (ii) bewiesen.

3.6. DIE TAYLORREIHE 73 Wir beweisen (iii). Die Koeffizienten der Taylorreihe (3.34) sind

a_n:= f⁽ⁿ⁾(z0) n!

und ihr Konvergenzradius ist

ρ= 1

lim sup_n→∞|a_n|^1/n. Sei 0< R < r. Dann giltBR(z0)⊂Ω und daher ist

M := sup

|z−z₀|<R

|f(z)|<∞.

Es folgt nun aus Satz 3.38, dass |a_n| ≤M/Rⁿ ist und daher 1

|a_n|^1/n ≥ R M^1/n.

Mit n→ ∞ ergibt sich f¨ur den Konvergenzradius ρ die Ungleichung

ρ≥ R

limn→∞M^1/n =R.

Da dies f¨ur jedes R < rgilt folgt ρ≥r.

Es bleibt zu zeigen, dass die Taylorreihe f¨ur jedesz∈Br(z0) gegen den Funktionswert f(z) konvergiert. Wir fixieren ein Element z ∈ B_r(z₀) und definieren

εn:=f(z)−

n−1

X

k=0

f^(k)(z0)

k! (z−z0)^k=fn(z) (z−z0)ⁿ.

Zu zeigen ist, dass ε_n gegen Null konvergiert f¨urn→ ∞. Dazu w¨ahlen wir eine reelle Zahl R so dass

|z−z0|< R < r.

Wie oben sei M := sup_BR(z0)|f|<∞. Dann folgt aus (3.37) und (3.4) mit L(γ_R) = 2πR dass

|f_n(z)| ≤R sup

|ζ−z₀|=R

|f(ζ)|

|ζ−z₀|ⁿ|ζ−z| ≤ RM

Rⁿ(R− |z−z₀|). Hieraus folgt

|ε_n| ≤ RM R− |z−z₀|

|z−z0| R

n

.

Diese Folge konvergiert in der Tat gegen Null f¨urn→ ∞. Damit ist der Satz bewiesen.

Beispiel 3.46. Die Potenzreihe 1 1−z =

∞

X

n=0

zⁿ

hat den Konvergenzradiusρ = 1. Man beachte, dass dies auch der Radius des gr¨ossten Kreises mit dem Mittelpunkt z0 = 0 ist, auf dem f definiert werden kann. Nach Satz 3.43 muss das so sein.

Beispiel 3.47. Die Potenzreihe 1 1 +z² =

∞

X

n=0

(−1)ⁿz²ⁿ

hat ebenfalls den Konvergenzradius 1. Als reell analytische Funktion ist x7→ 1/(1 +x²) jedoch auf der ganzen reellen Achse definiert. Der Konver-genzradius“sieht” also die Singularit¨aten±i.Ubung:¨ Was ist der Konver-genzradius der Taylorreihe der Funktionz7→1/(1 +z²) an einer beliebigen Stellea?

Beispiel 3.48. Die Taylorreihe der Exponentialfunktion an der Stellez0 = 0 ist per Definition die bekannte Formel (mit Konvergenzradiusρ=∞)

e^z =

∞

X

n=0

zⁿ n!.

Beispiel 3.49. Sei log :C\(−∞,0]→Cder Hauptzweig des Logarithmus (mit Bildmenge{w∈C| |Imw|< π}). Die Ableitung ist, nach Beispiel 2.27,

log⁰(z) = 1 z. Daraus ergibt sich durch vollst¨andige Induktion

log⁽ⁿ⁾(z) = (−1)ⁿ⁻¹(n−1)!

zⁿ .

Daher ist die Taylorreihe von log an der Stellez0 = 1 durch f(z) := log(1 +z) =z−z²

2 +z³ 3 −z⁴

4 ± · · · (3.42) gegeben. Diese hat den Konvergenzradius 1.

3.6. DIE TAYLORREIHE 75 Beispiel 3.50. Seiµ∈Cgegeben. F¨urz∈C\(−∞,0] definieren wir

z^µ:= exp(µlog(z)),

wobei log den Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet. Dann ist die Funk-tion C\(−∞,0] → C :z 7→ z^µ holomorph und ihre Taylorentwicklung an

Ubung:¨ Seienfundg_µdurch die Potenzreihen in (3.42) und (3.43) definiert.

Zeigen Sie, dass diese Potenzreihen den Konvergenzradius 1 haben und dass f undgµdie Gleichungen exp(f(z)) = 1+zund exp(µf(z)) =gµ(z) erf¨ullen.

(Hinweis: Das wurde in [6] f¨urz, µ∈Rbewiesen.) Beispiel 3.51. Die Ableitungen der Funktion

f(z) := z e^z−1

im Ursprung heissen Bernoulli-Zahlen. Sie sind, nach Satz 3.34, durch B_n:=f⁽ⁿ⁾(0) = n! gegeben. Hier steht der Ausdruck|z|= 1 unter dem Integralzeichen stellver-tretend f¨ur die Kurve γ(t) =e^2πit, 0≤t≤1. Die Taylorreihe der Funktion f im Ursprung ist also

z

Die ersten zwanzig Bernoulli-Zahlen sind B0= 1, B1 =−1 der Reihe (3.45) ist 2π. Die Bernoulli-Zahlen sind rational. Die ungeraden Bernoulli-ZahlenB_2k+1 verschwinden f¨urk≥1. F¨urk≥1 ist die Bernoulli-Zahl B_2k positiv, wennk ungerade ist, und negativ, wennk gerade ist.

Beispiel 3.52. Die Taylorreihen von Cosinus und Sinus im Ursprung haben den Konvergenzradiusρ=∞ und sind

cos(z) := e^iz+e^−iz

Beispiel 3.53. Die Taylorreihen des hyperbolischen Cosinus und Sinus im Ursprung haben den Konvergenzradiusρ=∞ und sind

cosh(z) := e^z+e^−z

Beispiel 3.54. Die Taylorreihe des hyperbolischen Tangens im Ursprung ist

wobei dieB_2k die Bernoulli-Zahlen sind (siehe Beispiel 3.51). Ubung:¨ Be-weisen Sie diese Formel und zeigen Sie, dass der Konvergenzradius der Tay-lorreiheπ/2 ist. Was ist der Konvergenzradius der Taylorreihe von tanh an einer beliebigen Stellea?

Beispiel 3.55. Die Taylorreihe des Arcustangens ist arctan(z) = tan⁻¹(z) =z−z³

3 +z⁵ 5 −z⁷

7 ± · · ·

Dies l¨asst sich am leichtesten dadurch beweisen dass die Ableitung des Ar-custangens durch die Formel

arctan⁰(z) = 1

1 +z² = 1−z²+z⁴−z⁶± · · ·

gegeben ist und arctan(0) = 0 ist (siehe Beispiel 2.30).Ubung:¨ Bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Potenzreihen.

Beispiel 3.56. Die Taylorreihe derKoebe-Abbildungz7→z/(1−z)² ist z

(1−z)² =z+ 2z²+ 3z³+ 4z⁴+· · · .

Ubung:¨ Beweisen Sie diese Formel und bestimmen Sie den Konvergenzra-dius.

3.6. DIE TAYLORREIHE 77 Anwendungen des Satzes von Taylor

Der Satz von Taylor hat eine Reihe wichtiger Konsequenzen, denen wir uns im folgenden widmen. Dazu geh¨ort der Identit¨atssatz, der sagt, dass zwei Funktionen mit der gleichen Taylorreihe an einer Stelle auf ihrem gesam-ten (gemeinsamen) Definitionsgebiet ¨ubereinstimmen. Eine zweite wichtige Konsequenz ist die Tatsache, dass die Nullstellen einer nichtkonstanten ho-lomorphen Funktion isoliert liegen, sich also nicht h¨aufen k¨onnen.

Korollar 3.57 (Identit¨atssatz). Sei Ω ⊂C eine zusammenh¨angende of-fene Menge und a ∈ Ω. Sind f, g : Ω → C zwei holomorphe Funktionen mit

f⁽ⁿ⁾(a) =g⁽ⁿ⁾(a) ∀n∈N0

so ist f(z) =g(z) f¨ur alle z∈Ω.

Beweis. Wir definieren Ω0 :=

n

z∈Ω|f⁽ⁿ⁾(z) =g⁽ⁿ⁾(z)∀n∈N0

o .

Diese Menge ist offen. Denn wenn z₀ ∈ Ω₀ ist, gibt es ein r > 0 so dass B_r(z₀)⊂Ω ist. Auf dieser Kreisscheibe stimmen f und g mit ihren Taylor-reihen an der Stelle z0 uberein (Satz 3.43). Also gilt¨

f(z) =

∞

X

n=0

f⁽ⁿ⁾(z₀)

n! (z−z0)ⁿ=

∞

X

n=0

g⁽ⁿ⁾(z₀)

n! (z−z0)ⁿ=g(z)

f¨ur alle z ∈ B_r(z₀); hier gilt die zweite Gleichung weil z₀ ∈ Ω₀ ist. Also stimmen f undg aufBr(z0) ¨uberein, ebenso wie alle ihre Ableitungen, und es folgt B_r(z₀)⊂Ω₀. Nun ist aber Ω\Ω₀ ebenfalls eine offene Menge, denn f¨urz₁∈Ω\Ω₀ gibt es ein n∈N mitf⁽ⁿ⁾(z₁)6=g⁽ⁿ⁾(z₁) und, daf⁽ⁿ⁾−g⁽ⁿ⁾ stetig ist, ein ε > 0 so dass f⁽ⁿ⁾−g⁽ⁿ⁾ auf Bε(z1) ¨uberall ungleich Null ist;

daher ist Bε(z1) ⊂ Ω\Ω0. Da Ω zusammenh¨angend und Ω0 6=∅ ist, folgt daraus Ω₀ = Ω.

Korollar 3.58 (Nullstellen sind isoliert). Sei Ω ⊂ C eine zusammen-h¨angende offene Menge und f : Ω → C eine nichtkonstante holomorphe Funktion. Ist f(z₀) = 0 so gibt es einε >0 mit B_ε(z₀)⊂Ω so dass

0<|z−z0|< ε =⇒ f(z)6= 0.

Beweis. Nach Korollar 3.57 gibt es einn∈Nmit

f⁽ⁿ⁾(z₀)6= 0, f^(k)(z₀) = 0 k= 0, . . . , n−1. (3.46)

Nach Satz 3.43 gibt es eine holomorphe Funktionfn: Ω→Cso dass f(z) =f_n(z) (z−z₀)ⁿ

f¨ur alle z ∈ Ω. Da f_n(z₀) = f⁽ⁿ⁾(z₀)/n! 6= 0 ist gibt es ein ε > 0 so dass Bε(z0) ⊂ Ω und fn auf Bε(z0) nicht verschwindet. Mit diesem ε ist die Behauptung des Korollars erf¨ullt.

Bemerkung 3.59. Es folgt aus dem Identit¨atssatz und Korollar 3.58, dass jede holomorphe Funktionf : Ω→Cauf einer zusammenh¨angenden offenen Teilmenge Ω ⊂ C, die eine der fogenden drei Bedingungen erf¨ullt, ¨uberall gleich Null ist.

(a)f verschwindet auf einer offenen Teilmenge U ⊂Ω.

(b)Die Nullstellen vonf haben einen H¨aufungspunkt in Ω.

(c) Es gibt eine nichtkonstante stetige Abbildung γ : [a, b] → Ω so dass f(γ(t)) = 0 ist f¨ur alle t∈[a, b].

Definition 3.60. Ist f : Ω→ C eine nichtkonstante holomorphe Funktion und z0 ∈Ω mit f(z0) = 0, so heisst die Zahl n∈N, f¨ur die (3.46) gilt, die Ordnung der Nullstelle z₀ von f.

Satz 3.61 (Die lokale Abbildung). Sei Ω ⊂ C eine offene zusammen-h¨angende Teilmenge und f : Ω→ C eine nichtkonstante holomorphe Funk-tion. Seiz0 ∈Ω, w0 :=f(z0), und n∈N die Ordnung von z0 als Nullstelle vonf −w₀. Dann gilt folgendes.

(i) Es gibt eine offene Umgebung U ⊂ Ω von z0, eine offene Umgebung V ⊂Cvon 0, und eine biholomorphe Abbildung φ:U →V, so dass

f(z) =w₀+φ(z)ⁿ (3.47)

f¨ur allez∈U und φ(z0) = 0 ist.

(ii) Sei U wie in (i). F¨ur jedes ε > 0 mit Bε(z0) ⊂U gibt es ein δ >0 so dass f¨ur allew∈C gilt

0<|w−w₀|< δ =⇒ #{z∈B_ε(z₀)|f(z) =w}=n.

Mit anderen Worten: die Gleichungf(z) =what f¨ur jedesw∈B_δ(w0)\{w₀} genau nL¨osungen in B_ε(z₀).

3.6. DIE TAYLORREIHE 79 Beweis. Nach Satz 3.43 gibt es eine holomorphe Funktiong: Ω→Cso dass

f(z)−f(z0) = (z−z0)ⁿg(z), g(z0) = f⁽ⁿ⁾(z0) n! 6= 0.

Nach Satz 2.31 gibt es eine offene Umgebung U₀ ⊂ Ω von z₀ und eine holomorphe Funktion h : U₀ → C so dass h(z)ⁿ = g(z) f¨ur z ∈ U₀. Wir definieren φ:U0 →Cdurch

φ(z) := (z−z0)h(z), f¨urz∈U₀. Diese Funktion erf¨ullt (3.47) und

φ(z0) = 0, φ⁰(z0) =h(z0)6= 0.

Also gibt es nach Satz 2.26 offene Umgebungen U ⊂U0 von z0 und V ⊂C von 0, so dass φ|_U :U → V ein holomorpher Diffeomorphismus ist. Damit haben wir (i) bewiesen.

Wir beweisen (ii). Sei ε > 0 so dass Bε(z0) ⊂ U und w¨ahle ρ > 0 und δ >0 so dass

B_ρ(0)⊂φ(B_ε(z₀))⊂V, δ :=ρⁿ.

Sei w ∈ C mit 0 < |w−w0| < δ = ρⁿ. Dann gibt es genau n paarweise verschiedene komplexe Zahlenζ₁, . . . , ζ_n∈Cso dass

ζ_kⁿ=w−w0, k= 1, . . . , n.

(Siehe Gleichung (1.27).) Diese Punkte haben einen Betrag |ζ_k|< ρ. Daher gibt es Punkte z1, . . . , zn ∈ Bε(z0) so dass φ(z_k) = ζ_k. Diese Punkte sind paarweise verschieden und erf¨ullen die Gleichung

f(z_k) =w₀+φ(z_k)ⁿ=w₀+ζ_kⁿ=w.

Ist andererseits z∈Bε(z0) irgendein Punkt mit f(z) =w, so istz∈U und w−w₀ =f(z)−w₀ =φ(z)ⁿ. Daher muss φ(z) eine der n Wurzeln ζ_k sein und z daher der entsprechende Punktz_k. Damit ist der Satz bewiesen.

Korollar 3.62(Offenheitssatz). SeiΩ⊂Ceine zusammenh¨angende offe-ne Menge, f : Ω→Ceine nichtkonstante holomorphe Funktion, undU ⊂Ω offen. Dann ist f(U) eine offene Teilmenge vonC.

Beweis. Seiw0∈f(U) und w¨ahle einz0∈U mitf(z0) =w0. W¨ahleε, δ wie in Satz 3.61 und so dassBε(z0)⊂U. Dann istB_δ(w0)⊂f(Bε(z0))⊂f(U).

Damit ist das Korollar bewiesen.

Korollar 3.63(Biholomorphiesatz).SeiΩ⊂Ceine zusammenh¨angende offene Menge und f : Ω→C eine injektive holomorphe Funktion. Dann ist f⁰(z)6= 0 f¨ur alle z∈Ω und f ist eine biholomorphe Abbildung von Ω nach Ω⁰ :=f(Ω).

Beweis. Wir nehmen an, dass es einz₀ ∈Ω gibt mitf⁰(z₀) = 0 und bezeich-nen mitndie Ordnung vonz0 als Nullstelle vonf−w0, wobeiw0 :=f(z0).

Dann ist n ≥2. Also folgt aus Satz 3.61, dass die Gleichung f(z) = w f¨ur w hinreichend dicht bei w₀, aber ungleich w₀, mindestens zwei L¨osungen hat. Daher istf in diesem Fall nicht injektiv. Damit haben wir gezeigt, dass f⁰(z)6= 0 ist f¨ur allez∈Ω und die Behauptung folgt daher aus Satz 2.26.

Ubung 3.64.¨ Welches ist die gr¨osste Kreisscheibe um den Ursprung auf der die Funktionf(z) =z+z²injektiv ist? Ebenso f¨ur die Funktionenf(z) =e^z undf(z) =z/(1−z)².

Ubung 3.65.¨ Seif(z) := cos(z). Finden Sie eine explizite Formel f¨ur φso dassφ⁰(0)6= 0 ist undf die Formf(z) =f(0) +φ(z)ⁿ nahe bei z0= 0 hat.

Ubung 3.66.¨ Seif : Ω→ Cholomorph in einer offenen Umgebung Ω von 0 mitf(0) = 0, f⁰(0)6= 0. Zeigen Sie, dass es eine holomorphe Funktion g in einer Umgebung von 0 gibt, die die Gleichungf(zⁿ) =g(z)ⁿ erf¨ullt.

Im Dokument 22.November2019 DietmarA.SalamonETHZ¨urich FUNKTIONENTHEORIE (Seite 76-86)