Planare Resonatoren

F¨ur die Herstellung von Resonatoren hoher G¨ute ist es unerl¨asslich, Spiegel f¨ur den ent-sprechenden Spektralbereich zu verwenden, die besonders hohe Reflektivit¨aten zeigen. Die optische G¨ute Q des Resonators h¨angt von den Reflektivit¨aten der beiden verwendeten

Spiegel wie folgt ab:

Q= (1 +r)²

(1−r²) ≈ 4√ R

1−R (4.34)

Dabei ist r der Reflexionskoeffizient der elektromagnetischen Feldamplitude und R der Reflexionskoeffizient der optischen Feldintensit¨at (R = r²). Die N¨aherung in Gleichung (4.34) gilt dann, wenn R gegen eins geht. F¨ur metallische Spiegel l¨asst sich im optischen Spektralbereich durch die Verwendung von Silber maximal eine Reflektivit¨at vonR≈95%

erreichen. Damit kann mit Gleichung (4.34) ein maximales Q von etwa 80 abgesch¨atzt werden. Wie in Kapitel (4.1.2) behandelt, ist dieser Q-Faktor nicht ausreichend, um die Effekte der

”Starken Kopplung”beobachten zu k¨onnen.

Dielektrische Bragg-Spiegel

Der geringe Q-Faktor f¨ur Metallspiegel kann durch die Verwendung von dielektrischen Vielschichtspiegeln (Bragg-Spiegel) deutlich verbessert werden. Bragg-Spiegel sind Struk-turen, die aus einer alternierenden Abfolge zweier dielektrischer Materialien mit unter-schiedlichen Brechungsindizesn₁, n₂ bestehen. Mit diesen Spiegeln ist es m¨oglich, die Re-flektivit¨at bei einer Designwellenl¨ange zwischen 0% und 100% nahezu beliebig zu w¨ahlen.

Bei einem Bragg-Spiegel entsteht die reflektierte optische Welle durch ¨Uberlagerung der an den jeweiligen Grenzschichten reflektierten Partialwellen. Je nach Design der Schich-ten kann so destruktive oder konstruktive Interferenz erreicht werden. Die EigenschafSchich-ten dielektrischer Spiegel lassen sich wie folgt zusammenfassen:

• Durch die Verwendung dielektrischer Materialien ist es m¨oglich, Absorption inner-halb der Struktur zu vermeiden. Dies ist von zentraler Bedeutung f¨ur die Herstellung von Resonatoren, da die einzelnen Schichten je nach G¨ute viele Male durchlaufen werden.

• Die gew¨unschte Reflektivit¨at kann durch Wahl der Schichtdicken und Anzahl der Schichtpaare eingestellt werden. F¨ur die Schichtdicken gilt dabei:

– F¨ur konstruktive Interferenz muss die jeweilige Schichtdicke ein ungeradzahli-ges Vielfaches von λ/4n_i sein. Dabei istn_i der Brechungsindex der jeweiligen Schicht.

– F¨ur destruktive Interferenz, also keine Reflektivit¨at, m¨ussen die jeweiligen Schichtdicken eingeradzahliges Vielfaches von λ/4ni sein.

• Die maximal erreichbare Reflektivit¨at h¨angt neben der Anzahl N der Schichtpaare auch von dem relativen Brechungsindexsprung n_rel der beiden Materialien ab.

n_rel = 2 (n1−n2)

(n₁+n₂) (4.35)

• Vom relativen Brechungsindexsprung nrel h¨angt die Breite des Stopp-Bandes ei-nes Bragg-Spiegels ab. Das Stopp-Band bezeichnet den Spektralbereich in dem der Spiegel eine hohe Reflektivit¨at zeigt. Durch die Verwendung zweier Materialien mit sehr unterschiedlichem Brechungsindex k¨onnen so breitbandige Spiegel hergestellt werden.

In Abbildung (4.4) sind Transmission und Reflexion f¨ur Bragg-Spiegel mit verschiede-ner Schichtanzahl gezeigt. Diese Berechnungen wurden mit der Software Scout2¹ durch-gef¨uhrt. F¨ur den sichtbaren Spektralbereich wurden die Materialien SiO2 und T iO2 ver-wendet. F¨ur die in Abbildung (4.4) gezeigten Spektren wurden die in der Software mit-gelieferten dielektrischen Funktionen f¨urSiO₂ undT iO₂ herangezogen. Diese wurden aus [Jel92] entnommen. Die Schichtdicken (106 nm f¨ur SiO2 und 54 nm f¨ur T iO2) wurden

400 500 600 700 800 900 1000 0.0

400 500 600 700 800 900 1000 0.0

Abbildung 4.4: Berechnete Transmission und Reflexion eines Bragg-Spiegels ausSiO₂ und T iO₂ f¨ur verschiedene Anzahl von Schichtpaaren.

so gew¨ahlt, dass die maximale Reflexion bei 620 nm auftritt. Dies entspricht den Bre-chungsindizes von n_SiO2 = 1.46 und n_{T iO2} = 2.87. Es ist zu beobachten, wie sich im Wellenl¨angenbereich von etwa 500 bis 800nmdas Stopp-Band ausbildet. In der Mitte des Stopp-Bandes ist die Reflexion am gr¨oßten und dementsprechend die Transmission am geringsten. Wegen des großen relativen Brechungsindexsprungs der beiden verwendeten Materialien erreicht dieses Stopp-Band eine Breite von etwa 300 nm. Mit zunehmender Anzahl an Spiegelpaaren nimmt die Reflexion zu. Bei Wellenl¨angen unterhalb von 500nm erkennt man einen deutlichen Einbruch in der Transmission, w¨ahrend die Reflexion nicht zunimmt. Dies ist eine Folge der in diesem Wellenl¨angenbereich auftretenden Absorption im T iO₂. Damit konsistent ist, dass die Transmission in diesem Bereich mit steigender Anzahl an Spiegelpaaren abnimmt. Durch die gr¨oßere Zahl an T iO₂-Schichten tritt auch mehr Absorption auf. Bereits f¨ur den Fall von neun Schichtpaaren ist eine maximale Reflexion von 99.97% zu erwarten.

Die Schichten wurden mittels einer Radiofrequenz-Sputteranlage hergestellt [Hag06b].

Durch Ellipsometrie konnten die Schichtdicken und Brechungsindizes der erzeugen Schich-ten bestimmt werden [Hag06b]. Dabei konnte festgestellt werden, dass der Brechungsin-dex des in unserer Anlage erzeugen T iO₂ von dem Literaturwert 2.87 (bei λ = 620 nm) abweicht. Es wurde ein Wert von 2.47±0.03 gemessen. Dieser Wert f¨ur den Brechungs-index wurde beim Design der Resonatorstrukturen ber¨ucksichtigt und wird im Folgenden verwendet werden. Zudem zeigt das von uns hergestellte T iO₂ erst Absorption bei Wel-lenl¨angen kleiner als 450 nm.

Dielektrische planare Resonatoren

Mit der im Anhang von [Hag06a] und [Koh07] beschriebenen Methode k¨onnen neben den Eigenschaften von Spiegeln auch die Eigenschaften von planaren, dielektrischen

Schicht-1http://www.mtheiss.com/scout2.html

systemen beschrieben werden. Wie in [Hag06a] gezeigt, bildet sich ein Resonator aus, falls der zentrale Bereich zwischen den Spiegeln als ein ganzzahliges Vielfaches von λ/2n gew¨ahlt wird. nist dabei der Brechungsindex der Mittelschicht zwischen den Spiegeln. Es bietet sich an, die Mittelschicht genau λ/2ndick zu machen, da dann das Modenvolumen des elektromagnetischen Feldes innerhalb der Struktur minimal wird. Wie in Gleichung (4.32) gesehen, h¨angt zum Beispiel der Purcell-Faktor reziprok vom Modenvolumen ab.

F¨ur Schichtdicken kleiner als λ/2n bildet sich keine Resonanz aus.

Die im Folgenden vorgestellten Berechnungen wurden f¨ur ein System bestehend aus zwei Bragg-Spiegeln mit verschiedener Anzahl von Schichtpaaren und einer Mittelschicht aus SiO2 durchgef¨uhrt. F¨ur die dielektrischen Materialien der Spiegel wurde wie oben n_SiO2 = 1.46 und n_{T iO2} = 2.47 verwendet. Die Schichten wurden wieder so ausgelegt, dass sich eine Resonanz bei 620 nmausbildet. Damit muss d_SiO2 = 62.8 nmund d_{T iO2} = 106.2 nm sein. Dementsprechend muss die Mittelschicht des Resonators eine Dicke von nominell d_λ/(^2nSiO2) = 212.4 nmbesitzen.

In Abbildung (4.5) ist das berechnete Refexionsspektrum eines planaren λ/2 Fabry-P´erot-Resonators f¨ur verschiedene Anzahl von Schichtpaaren in den Spiegeln gezeigt. Im Bereich von 510 bis 780 nm ist die Reflexion nahezu eins. Wie erwartet ist das Stopp-Band durch den etwas geringeren Brechungsindex des T iO₂ nur noch etwa 270 nmbreit.

Die Reflektivit¨at der Resonatoren steigt mit der Anzahl der verwendeten Schichtpaare

500 600 700 800

616 618 620 622 624

0.0

Abbildung 4.5: Berechnete Reflektivit¨aten eines leeren planaren Resonators f¨ur unter-schiedliche Anzahl an Schichtpaaren eines Bragg-Spiegels. a) ¨Ubersichtsspektrum. b) ver-gr¨oßerter spektraler Bereich nahe der Resonanz.

in den Bragg-Spiegeln an. Bei λ ≈ 620 nm ist deutlich ein Einbruch in der Reflektivit¨at zu erkennen. F¨ur diese Wellenl¨ange koppelt das Licht in den Resonator ein. Die Breite dieser Resonanz ist von der Reflektivit¨at der Spiegel abh¨angig und bestimmt somit die G¨ute des Resonators. Der Qualit¨atsfaktor Q eines dielektrischen Resonators kann direkt mit (4.12) berechnet werden. DurchLorentz-Anpassungskurven an die Daten konnten die zu erwartenden Q-Faktoren gewonnen werden. Diese k¨onnen Tabelle (4.1) entnommen werden.

Tabelle (4.1) zeigt weiterhin, dass ab 9 Schichtpaaren der zu erwartende Q-Faktor be-reits ¨uber 10⁵steigt. Wie in Kapitel (4.1.2) besprochen, wird ab diesem Wert f¨urQbereits das Regime der

”Starken Kopplung“ erreicht. In Abbildung (4.6) sind beispielhaft die Verteilungen der Feldamplitude senkrecht zu den Schichten gezeigt. Es wurde ein plana-rer Resonator mit f¨unf Schichtpaaren je Spiegel simuliert. DieSiO₂ Schichten sind weiß,

Spiegelpaare Reflektivit¨at Resonator Q-Faktor

2 86,55 % 8

3 96,743 % 28

4 99,354 % 85

5 99,886 % 249

6 99,981 % 719

7 99,997 % 2064

8 99,99958 % 5914

9 99,999940 % 16934

Tabelle 4.1: Vergleich der Reflektivit¨aten von Einzelspiegel mit den theoretischen Q-Faktoren der Resonatoren in Abh¨angigkeit der Anzahl der Spiegelpaare pro Spiegel.

die T iO2 Schichten grau hinterlegt. In Teil (a) von Abbildung (4.6) ist die Verteilung der elektrischen Feldamplitude f¨ur den oben besprochenen Fall einesλ/2 Resonators mitSiO₂ Zentralschicht f¨ur die Wellenl¨ange 620 nm und 570 nm dargestellt. Erstere liegt damit genau auf der Resonanzwellenl¨ange des Resonators, w¨ahrend im Fall von 570nmdie Wel-lenl¨ange genau im Stopp-Band liegt. Die einfallende Welle trifft, wie durch die Pfeile in Abbildung (4.6a) angedeutet auf die Struktur. Die Amplitude f¨ur den Einfall wurde dabei auf Eins gesetzt. Durch Interferenz der reflektierten mit der einfallenden Welle bildet sich auf der Seite des einfallenden Lichts eine stehende Welle aus. Rechts von der Struktur er-kennt man die konstante Amplitude der transmittierten Welle. Innerhalb der Struktur ist deutlich die Feld¨uberh¨ohung in der zentralen Schicht zu erkennen, wenn die Frequenz der einfallenden Welle auf der Resonanz liegt. Die Feld¨uberh¨ohung ist genau in der Mitte der Struktur maximal. Es ergibt sich eine ¨Uberh¨ohung um den Faktor 10. F¨ur Experimente, in denen diese Feld¨uberh¨ohung genutzt werden soll, m¨ussen die untersuchen Objekte ge-nau hier plaziert werden. Liegt die Wellenl¨ange nicht auf der Resonanz, wird die Welle im Inneren der Struktur abgeschw¨acht, und der reflektierte Anteil ist dementsprechend hoch (schwarze Kurve). F¨ur Wellenl¨angen, die unterhalb des Stopp-Bandes liegen, ist zu be-achten, dass aus erh¨ohter Transmission nicht unbedingt auch eine Feld¨uberh¨ohung in der Mitte des Resonators folgt. Dies ist wichtig, wenn zum Beispiel Laserlicht zur Anregung von Lumineszenz in die Resonatormitte eingekoppelt werden soll.

F¨ur einen λ-Resonator mit SiO₂-Mittelschicht ergibt sich wie in Abbildung (4.6c) rechts von der Struktur zu erkennen, ebenfalls eine Transmission von etwa 1, allerdings besitzt das elektromagnetische Feld genau in der Mitte der Struktur einen Knoten.

Der Fall der invertierten Struktur (s. Abb. 4.6b und d) ist interessant, denn aus Glei-chung (4.32) ¨uber den Purcell-Effekt geht hervor, dass die Verk¨urzung der strahlenden Lebensdauer reziprok von der dritten Potenz des Brechungsindex der Umgebung abh¨angt.

Deshalb ist ein Resonator mit T iO₂ als Zentralbereich in Vergleich zu SiO₂ vorteilhaft.

Ein um 5 gr¨oßerer Purcell-Effekt ist zu erwarten. Hinsichtlich der Feldverteilung ergibt sich ein zur SiO₂ Mittelschicht umgekehrtes Bild: F¨ur einen λ/2 Resonator ausT iO₂ (s.

Abb. 4.6b) ergibt sich, dass in der Mitte der Struktur kein Feld herrscht. Nur f¨ur den Fall eines λ-Resonators mit T iO₂ in der Mitte ist eine Feld¨uberh¨ohung zu erwarten (4.6b).

Aus der Berechnung kann eine Feld¨uberh¨ohung um den Faktor 14 entnommen werden.

Im Vergleich zu einem λ/2-Resonator mit SiO₂ (Feld¨uberh¨ohung etwa 10) ist also die invertierte Struktur, mit dem Material mit dem h¨oheren Brechungsindex in der Mitte, vorteilhaft. Der Grund f¨ur diese Feldverteilungen kann wie folgt verstanden werden:

• In demSiO₂-Resonator wird des elektromagnetische Feld an den benachbartenT iO₂

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Abbildung 4.6: Berechnete Feldverteilungen des elektrischen Feldes f¨ur vier verschiedene Resonatorstrukturen: (a) λ/2 Resonator mit SiO₂-Mittelschicht, (b) λ/2 Resonator mit T iO₂-Mittelschicht, (c,d) λ Resonatoren jeweils mit SiO₂- und T iO₂-Mittelschicht. F¨ur die F¨alle nicht verschwindender Felder in der Mitte der Struktur (a,d) sind die Feldvertei-lungen bei zwei Wellenl¨angen gezeigt:620 nm(auf der Resonanz) und570 nm(neben der Resonanz). In den beiden anderen F¨allen sind die Felder nur f¨ur die Resonanzwellenl¨ange dargestellt.

Schichten reflektiert. Also am optisch dichteren Medium. Damit erf¨ahrt die Welle bei den Reflexionen einen Phasensprung um π. Es kann sich also in der Struktur nur dann eine stehende Welle bilden, wenn das elektromagnetische Feld an den Grenzschichten zu den Spiegeln immer verschwindet. Daraus folgt, dass das elektro-magnetische Feld in der Mitte des Resonators nur in den F¨allen von Null verschieden ist, in denen die Schichtdicke der Zentralschicht ein ungeradzahliges Vielfaches von λ/2n_zentral ist (vgl. stehende Seilwelle mit eingespannten Enden).

• Ist die Mittelschicht hingegen aus T iO₂, so findet bei der Reflexion an den ersten Grenzfl¨achen zu den Spiegeln kein Phasensprung statt. Damit bildet sich immer eine stehende Welle aus, die an den Grenzfl¨achen maximale Intensit¨at hat. Folglich herrscht nur in den Resonatoren in der Mitte eine Feld¨uberh¨ohung, bei denen die Dicke der Mittelschicht eingeradzahliges Vielfaches vonλ/2n_zentral ist (vgl. stehende Seilwelle mit losen Enden).

Viele Gruppen, die sich mit dem GaAs/AlAs-System besch¨aftigen [Vuc03] arbeiten mit selbstorganisierten InGaAs-Quantenpunkten. Die Emission dieser Quantenpunkte liegt typisch bei λ = 1.1 µm. Die Brechungsindizes der verwendeten Materialien GaAs und AlAssind bei dieser Wellenl¨ange:n_GaAs = 3.57 undn_AlAs = 2.94. Damit errechnet sich das Verh¨altnis der Brechungsindizes im III-V Materialsystem zu ∆n = nGaAs/nAlAs = 1.21.

W¨ahrend sich in dem SiO₂/T iO₂ System f¨ur den sichtbaren Spektralbereich ein ∆n =

n_{T iO2}/n_SiO2 = 1.69 ergibt. Deswegen sind im III-V Materialsystem viel mehr Schichtpaare in den Spiegeln notwendig (typisch > 30), um vergleichbare theoretische Werte f¨ur die Resonatorg¨ute Q zu erreichen. Im III-V Materialsystem werden immer λ-Resonatoren verwendet, denn InGaAs-Quantenpunkte k¨onnen nur auf GaAs erzeugt werden. Damit besteht in diesen Systemen immer die Mittelschicht der Resonatoren aus dem st¨arker brechenden Material. Wie oben gezeigt, kann dies durch die Verwendung von T iO2 im Zentralbereich der Resonatoren f¨ur den sichtbaren Spektralbereich ebenfalls ausgenutzt werden.