Mikroresonatoren

Neben den optischen Nano-Antennen stellen Mikroresonatoren ein weiteres Konzept zur Beeinflussung der Licht-Materie-Wechselwirkung dar. In diesen Strukturen wird Licht auf Volumina beschr¨ankt, die in der Gr¨oßenordnung der Wellenl¨ange liegen. Dadurch kommt es zur Ausbildung einer so genannten Modenstruktur, welche die Verteilung des elektroma-gnetischen Feldes innerhalb eines solchen Resonators beschreibt. In einem sehr einfachen Bild kann man die Entstehung dieser Moden als ¨Uberlagerung vieler einzelner elektro-magnetischer Wellen verstehen, die zusammen eine stehende Welle in diesem Resonator bilden. Diese wird dann als Mode bezeichnet.

Als Photonen-Quelle dient im vorliegenden Fall die Emission aus kolloidalen Halbleiter-Nanokristallen. Dieses Licht stammt aus der Rekombination von Exzitonen in diesen Na-nokristallen, wie in Kapitel 2 beschrieben. Diese kolloidalen Systeme k¨onnen in die Mikro-resonatoren eingebaut werden und damit kann ihre Emission als Lichtquelle zur Anregung dieser optischen Moden dienen. Im Folgenden wird nun das photonische System allgemein besprochen, bevor dann die hergestellten und verwendeten Resonatorstrukturen in ihren optischen Eigenschaften im Detail vorgestellt und diskutiert werden.

Vakuumfeld

Das Strahlungsfeld kann in der zweiten Quantisierung allgemein durch ein Ensemble von harmonischen Oszillatoren beschrieben werden. Dabei wird jede auftretende Mode durch einen einzelnen Oszillator repr¨asentiert. Demnach ist das Strahlungsfeld im freien Raum

durch eine unendliche Zahl harmonischer Oszillatoren zu charakterisieren. F¨ur deren

Dabei entspricht ~ω der Differenz der Energieniveaus, die bei der Erzeugung des Pho-tons beteiligt sind. Die Amplitude des Vakuumfeldes A_vac eines der Oszillatoren, der die Frequenz ω besitzt, kann durch folgenden Zusammenhang berechnet werden:

A_vac= r 1

₀V

~ω

2 (4.2)

V entspricht dabei dem Quantisierungsvolumen, auf welches das elektromagnetische Feld beschr¨ankt ist, und ₀ ist die elektrische Feldkonstante [Yam97]. Sofern nur eine Mode des elektromagnetischen Feldes existiert, mit der der Emitter wechselwirken kann, so ist die Frequenz, mit der das Feld und der Emitter Energie austauschen, gegeben durch die Rabi-Frequenz Ω_vac des Vakuums [Yam97]. Diese kann mit

Ω_vac = M A_vac

~ (4.3)

berechnet werden. Dabei ist M das elektrische Dipol- ¨Ubergangsmatrixelement der an dem ¨Ubergang beteiligten Anfangs- und Endzust¨ande. Tats¨achlich zeichnet sich der freie Raum aber durch eine unendliche Anzahl zug¨anglicher Moden aus. Deswegen kann der strahlende ¨Ubergang unter Ber¨ucksichtigung der Energie- und Impulserhaltung in jede dieser Moden erfolgen. Die Mode, in die das Photon letztendlich emittiert wird, und der Zeitpunkt der Emission sind dabei zuf¨allig. Dies ¨andert sich drastisch, sobald man die Modenstruktur des Vakuums durch Resonatoren manipuliert.

Photonischer Einschluss

Photonischer Einschluss bezeichnet die r¨aumliche Begrenzung des elektromagnetischen Feldes auf einen vorgegebenen Raumbereich. Dieser Einschluss kann technisch zum Bei-spiel durch Spiegel realisiert werden. In den jeweiligen Einschlussrichtungen kommt es dann zur ¨Uberlagerung von einfallenden und reflektierten Wellen. Durch deren Interferenz kann nur Intensit¨at im Resonator gespeichert werden, wenn die Phasenlage der einzelnen Wellen die Ausbildung einer stehenden Welle erlaubt. Darum gibt es einen Zusammenhang zwischen der geometrischen L¨ange des Resonators L_i und der Wellenvektorkomponente des elektromagnetischen Feldesk_i in der betrachteten Richtung:

k_i = π(m_i+ 1)

L_i mit m_i ∈N₀ (4.4)

Dadurch ¨andert sich neben der Energiedispersion auch die ZustandsdichteD(E) des elek-tromagnetischen Feldes gegen¨uber der des freien Raums. Die Zustandsdichte gibt dabei die Anzahl der im Energieintervall [E, E+∂E] vorhandenen Zust¨ande an. Mit Hilfe der Energiedispersion E(k) kann die Zustandsdichte durch Integration aller Punkte im k-Raum berechnet werden, die im Energieintervall [E, E+∂E] liegen. Dies ist im k-Raum eine Integration ¨uber eine Kugelschale, deren Radius proportional zu|k| ist.

D(E)dE = 1

∆k Z

d³k (4.5)

D(E)

Abbildung 4.1: Dimensionsabh¨angige photonische Zustandsdichte f¨ur Resonatoren mit un-terschiedlicher Dimensionalit¨at als Funktion der Energie. Der funktionale Zusammenhang ist in den Graphen angedeutet. Die Anzahl der Dimensionen der restlichen Freiheitsgrade ist angegeben.

Je nach der Anzahl der Dimensionen, in denen der photonische Einschluss realisiert ist, ergibt sich dadurch ein unterschiedlicher Verlauf der Zustandsdichte. F¨ur den Fall eines perfekten photonischen Einschlusses und der Bedingung, dass L << λ/n ist, ergibt sich f¨ur planare Resonatoren der in Abbildung (4.1) schematisch dargestellte Verlauf der Zu-standsdichte in Abh¨angigkeit der Energie je nach Dimensionalit¨at des Resonators. Ohne Einschluss gilt ein linearer Zusammenhang zwischen der Energiedispersion E^3D(k) und dem Wellenvektork:

E^3d(k) = c~

n k (4.6)

Dabei ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum und n der Brechungsindex des verwen-deten Materials. F¨ur die Zustandsdichte D^3d(E) ergibt sich daraus mit Gleichung (4.5) ein quadratischer Zusammenhang mit der Energie:

D^3d(E) = n³

2π²(c~)³E² (4.7)

Im Fall eines planaren Resonators kommt es zu einem photonischen Einschluss in einer Dimension. Die optischen Moden sind entlang der Resonatorachse, zum Beispiel in z-Richtung quantisiert. Diese Moden k¨onnen mit ihrem Wellenvektork_z identifiziert werden.

k_z = π(m_z+ 1)

L_z mit m_z ∈N₀ (4.8)

Die Resonatorebene (xy-Ebene) ist durch die Ebene parallel zu den Spiegeln gegeben. Da in dieser Richtung kein Lichteinschluss vorliegt, kann sich hier ein Kontinuum an Mo-den, den so genannten transversalen MoMo-den, ausbilden. Der zugeh¨orige, zweidimensionale Wellenvektor k|| ist demnach unquantisiert. F¨ur die Energiedispersion in den Richtungen parallel zu den Spiegeln gilt:

E^2D k||

= ~c n

q

k_z²+k_||² (4.9)

Die zweidimensionale Zustandsdichte errechnet sich dann wieder mit Gleichung (4.5).

D^2D(E) = M_z n²

2π(c~)²E (4.10)

Dabei ber¨ucksichtigtM_zdie Anzahl der quantisierten, longitudinalen Moden in z-Richtung.

Wie in Abbildung (4.1) in der Mitte zu sehen ergibt sich daraus ein unstetiger Verlauf der Zustandsdichte. Immer wenn eine weitere halbe Wellenl¨ange in den Resonator passt, also in Gleichung (4.8)M_z um eins erh¨oht wird, tritt dieser Sprung auf. Dazwischen h¨angt die Zustandsdichte linear von der Energie ab.

Bei Resonatoren mit vollst¨andigem, dreidimensionalem Einschluss ergibt sich eine δ-f¨ormige Zustandsdichte. Der Wellenvektor ist in allen drei Raumrichtungen gem¨aß Glei-chung (4.4) vollst¨andig quantisiert. Die Zustandsdichte ist demzufolge nur noch bei den Energien

E^0d= c~ n

q

k_x²+k_y²+k_z² (4.11) von Null verschieden. Die Abh¨angigkeit vom Material aus dem der Resonator besteht wird durch den Brechungsindex n ber¨ucksichtigt.

Charakterisiert werden kann ein solcher Resonator dann durch die geometrischen Rah-menbedingungen (dieL_i) und seine G¨ute. Ein Maß f¨ur die Qualit¨at eines Resonators stellt seine G¨ute Q, oder auch Q-Faktor, dar. Dieser berechnet sich aus:

Q= λ

∆λ (4.12)

Dieser kann experimentell sehr leicht durch Messung der spektralen Breite ∆λ und der spektralen Position λ der beobachteten Photonenmoden bestimmt werden. Der Grund, warum sich diese Gr¨oße Qzur Beschreibung von Resonatoren eignet ist, dass Qein Maß f¨ur die mittlere Verweildauer τ eines Photons innerhalb des Resonators darstellt. Dabei ist τ im Verh¨altnis zu der Zeit T zu sehen, die das Photon ben¨otigt um den Resonator einmal zu durchqueren. Es gilt: Q ∝ τ /T. Damit entspricht der Zahlenwert von Q der mittleren Anzahl der Uml¨aufe eines zu der entsprechenden Mode resonanten Photons im Resonator, bevor es aus diesem entkommt. Im Falle eines linearen Resonators kann direkt ein analytischer Zusammenhang zwischen Qund τ hergestellt werden:

τ =Q L

c/n (4.13)

Wenn die mittlere Umlaufzahl gleicht Q ist, dann ist die mittlere Verweildauer genau Q mal der Zeit, die ein Photon braucht, um die L¨angeLdes Resonators (bestehend aus dem Medium mit Brechungsindex n) mit der Geschwindigkeit c/n zu durchlaufen. Die L¨ange L ist dabei nicht immer die geometrische L¨ange, sondern gibt die effektive Ausdehnung des elektromagnetischen Feldes an. Bei Resonatoren aus dielektischen Spiegeln muss auch der Brechungsindex n durch einen effektiven Wert ersetzt werden (s. Kap. 4.3.3). Siehe dazu auch die Definition des effektiven Volumens V_{ef f} =A×L_{ef f} in Kapitel (4.3.3), f¨ur den Fall eines S¨aulenresonators.