Teil I: Die Internalisierung externer Effekte im Rahmen nicht-
2. Bilaterale Internalisierungsverhandlungen
2.5 Ein Beispiel
In diesem Abschnitt soll abschließend noch die Funktionsweise des oben be-schriebenen Mechanismus sowie die ökonomische Intuition , die hinter den abgelei-teten Ergebnissen steckt, anhand eines einfachen Beispiels graphisch verdeutlicht werden. Dabei wird davon ausgegangen, daß 0 im Intervall [O, l] gleichverteilt ist.
Die Wahl der Intervallgrenzen erleichtert lediglich die graphische Darstellung, ist aber ansonsten nicht kritisch. Die spezielle Verteilungsannahme dient einerseits ebenfalls der Vereinfachung, kann andererseits aber auch in gewisser Weise inhalt-lich motiviert werden: Wenn der Schädiger keinerlei Anhaltspunkte über die kon-krete Gestalt der Verteilungsfunktion hat, erscheint es nicht unplausibel, alle 0e [0,1] für gleich
wahrscheinlich zu halten. In diesem Fall muß die Gleichverteilung von 0 angenom-men werden. Es soll also gelten
24vgl. z.B. Fudenberg und Tirole (1991, S. 267). Es existieren auch Lösungsverfahren für Pro-bleme, in denen die Monotoniebeschränkung bindet (Vgl. z.B. Myerson (1981)). In solchen Fällen erhalten typischerweise unterschiedliche Typen von Geschädigten gleiche Kompensationszahlun-gen. Dieses Problem soll aber hier nicht weiter verfolgt werden.
bzw.
{1 für O :5 0 :5 1 f(9)= 0 sonst
1
0 für0 < 0 F(0)= 0 fürO :5 0 :511 sonst.
Daraus folgt F(0)/f(0) = 0. Weiterhin wird unterstellt, daß die Grenzgewinnfunktion linear ist mit b'(x) = a - ex. Die effiziente Produktionsmenge in Abhängigkeit vom jeweiligen Schadenstyp ist dann bestimmt durch a - ex = 0, während der Output bei der Verhandlungslösung gemäß (2.16)' aus a - ex = 20 bzw. (a -cx)/2 = 0 folgt.
Bezeichnet man die effiziente Lösung wieder mit x* und die Verhandlungslösung mit X., so ergibt sich
bzw.
( ) {(a- 0) / c für0 < a x* 0 =
0 sonst
xv(0)={(a-20)/c für0<a/2
0 sonst.
Um sowohl bei der effizienten Lösung als auch bei der Verhandlungslösung für alle 0e [O, 1] strikt positive Produktionsmengen zu erhalten, wird a/2> 1 angenommen.
Auch diese Annahme dient lediglich der Vereinfachung späterer Berechnungen.
Abbildung 7 zeigt, wie die jeweiligen Outputs graphisch ermittelt werden kön-nen. Die Produktionsmengen x*(0) bzw. x.(0) resultieren aus den Schnittpunkten der Grenzgewinnfunktion a - ex bzw. der Geraden (a - cx)/2 mit einer Parallelen zur Abszisse mit Ordinatenabschnitt 0. Man sieht, daß die Produktionsmenge x.(0) für alle 0 mit Ausnahme von 0 = 0 niedriger ist als die effiziente Menge x*(0). Der Wohlfahrtsverlust, der sich durch diese Abweichung ex post ergibt, falls der
Ge-schädigte vom Typ 0 ist, wird durch das schraffierte Dreieck beschrieben. Er be-rechnet sich zu
v(0) = (l/2)[x*(0) - x_,(0)][b'(x.(0)) - 0] = (l/2)(0/c)0 = 02/2c, wie leicht aus Abbildung 7 ersichtlich ist.
Abbildung 7 DM
a
a/2
8
X
0 x.(8) x*(8) x(O)
Der erwartete Wohlfahrtsverlust beträgt dann V= J;'v(0)f(0) d0= f~(02 / 2c)d0=1 / 6c.
Abbildung 8 zeigt, wie sich das Entscheidungsproblem aus der Sicht des Schädigers darstellt. Wenn der Geschädigte vom Typ 0 ist, dann wählt der Schädiger gemäß Bedingung (2.16)' die Produktionsmenge x_,(0). Der Bruttogewinn, den er dabei erzielt, wird durch die Fläche Ox_,(0)Pa unter der Grenzgewinnkurve beschrieben.
Die Transferzahlung an den Geschädigten setzt sich zusammen aus der
Schadenser-satzkomponente 0:x_,(0), dargestellt durch die Fläche O:x_,(0)Q0, und der Informati-onsrente J>v(t)dt, dargestellt durch die Fläche 0QR1. Der verbleibende Nettoge-winn wird damit durch die Fläche lRQPa repräsentiert.
a
a/2 1 8
DM
0 Xv(l)
Abbildung 8
I
Xv(8) x*(l) x*(8) x(O)
Es ist instruktiv, zum Vergleich den Gewinn zu betrachten, den der Schädiger erzielen würde, wenn er die effiziente Outputfunktion x*(.) implementieren wollte.
Er müßte dazu nur durch höhere Transferzahlungen die Anreizverträglichkeit der jeweiligen Kontrakte sichern. Die Schadensersatzkomponente für einen 0-Typ müßte in diesem Fall 0x*(0) (Fläche Ox*(0)S0) und die Informationsrente J>'(t)dt (Fläche 0STI) betragen. Der Nettogewinn, der sich unter diesen Umständen ergäbe, entspricht in Abbildung 8 der Fläche 1 Ta, wäre also offensichtlich höher als bei Implementation der Outputfunktion :x_,(.). Für "kleine" 0 ist für den Schädiger dage-gen die Outputfunktion :x_,(.) günstiger. Wäre der Geschädigte beispielsweise vom Typ 0 = 0, würde der Schädiger sowohl bei Implementation von x*(.) als auch bei
Implementation von x,(.) die Menge x(O) produzieren. Im Falle der Implementation von x*(.) ergäbe sich bei der Menge x(O) der gleiche Nettogewinn wie bei der Menge x*(0). Dies gilt im übrigen für alle 0e [O, 1 ], wie man leicht anhand der Gra-phik nachprüfen kann. Der Nettogewinn bei Implementation von x,(.) entspricht jetzt der Fläche lRx(O)a und ist damit um die Fläche Rx(O)T höher als bei Imple-mentation der Outputfunktion x*(.). Da der Schädiger 0 aber nicht beobachten kann, kommt es nicht auf den Ex-Post-Gewinn nach Bekanntwerden des Schadenstyps an.
Entscheidend ist, welche Outputfunktion ihm im Durchschnitt einen höheren Ge-winn liefert.
Der Ex-Post-Gewinn bei Implementation von x*(.) ist, wie gesagt, unabhängig von 0 und ergibt sich auf einfache Weise durch Berechnung der Dreiecksfläche !Ta in Abbildung 8:
1t* = 7t(x*(0)) = (1/2)(a-l)x*(l) = (1/2c)(a-1)2•
Der Ex-Post-Gewinn bei Implementation von x,(.) kann ebenfalls mit Hilfe von Abbildung 8 ermittelt werden. Man erhält nach einfachen Rechnungen
1tv = 1t(x,(0)) = Jo r•,Ol (a-cx- l)dx+fx,(e) (l / 2)(a- cx)dx =
x,(I)
=n:* + (l/c)(l/2 - 02).25
Der Verlauf dieser beiden Gewinnfunktionen ist in Abbildung 9 dargestellt. Man sieht, daß 7ty lediglich für 0>✓1/2 kleiner ist als 1t*. Die Differenz der beiden Ge-winne beträgt im statistischen Durchschnitt
D = J:_'(1t.(8)-1t*(0)) f(0) d0 =
f~
(1/ c)(l / 2-02 ) d0 = l / 6c.Diese Differenz entspricht in Abbildung 9 der Differenz der Flächen PQT und QRS.
Damit ist gezeigt, daß die effiziente Outputfunktion x*(.) im Prinzip implementier-bar wäre, daß aber die Implementation von x,(.) für den Schädiger günstiger ist.
Dies liegt daran, daß bei der Implementation von x*(.) die zu zahlende
Informati-25Man beachte, daß unter der oben getroffenen Annahme a/2> 1 sowohl 7t * als auch 7ty für alle 0e [O, 1] positiv ist.
onsrente für Typen mit "kleinen" 0 im Vergleich zum zusätzlich erzielbaren Gewinn durch eine erhöhte Produktion zu hoch ist.
Abbildung 9
DM
n;* + l/2c T
p n:*
n;*- 1/2c
1tv
8
0 ✓ 112 1
Mit diesem einfachen Beispiel sei die Analyse bilateraler Verhandlungen über externe Effekte abgeschlossen. Im nächsten Abschnitt sollen nun einige der bisher getroffenen Annahmen kritisch beleuchtet und mögliche Modellerweiterungen dis-kutiert werden.