Die Verhandlungslösung bei unvollständiger Information

Nachdem ausführlich dargelegt wurde, daß die Bedingung individueller Ratio-nalität das Optimierungsproblem des Schädigers nur beschränkt, falls der Geschä-digte vom Schadenstyp

e+

ist und bewiesen wurde, daß die Anreizverträglichkeits-bedingungen genau dann erfüllt sind, wenn die Outputfunktion monoton fällt und die Transferfunktion gemäß Gleichung (2.15) gestaltet wird, kann man nun dazu übergehen, die Optimallösungen für Output- und Transferfunktion zu ermitteln. Das Optimierungsproblem, das durch die obigen Überlegungen stark vereinfacht wurde, stellt sich nunmehr in folgender Form dar:

max E(1t)= J:_.[b(x(0))-z(0)]f(0)d0 d.W.v. x(.), z(.)

u.d.N. z(0)=0x(0)+ J₀ e· x(t)dt.

Zusätzlich ist noch zu berücksichtigen, daß die Outputfunktion x(0) monoton fallen muß.

Die Nebenbedingung kann in die Zielfunktion eingesetzt werden, so daß der erwartete Gewinn des Schädigers nur noch von x(.) abhängt:

E(1t)= f:_'[b(x(0))-0x(0)]f(0)d0-J:_'J:' x(t)f(0)dtd0

=

c·[b(x(0))-0x(0)]f(0)d0-J;'x(t)f;_ f(0)d0dt22

=

r {

(b(x(0))-0x(0)]f(0)-x(0)F(0) }de.

Dieser Ausdruck ist nun unter der Monotoniebeschränkung bezüglich x(.) zu ma-ximieren. In der Literatur wird die Zielfunktion üblicherweise zunächst unter Ver-nachlässigung der Monotoniebeschränkung optimiert. Anschließend werden dann Bedingungen angegeben, unter denen diese Vorgehensweise zulässig ist, weil die Monotonieeigenschaft ohnehin erfüllt ist. Wenn man so verfährt, erhält man als notwendige Bedingung für die optimale Wahl der Outputfunktion

(2.16) [b'(x(0))- 0] f(0) - F(0) = 0.

Die Transferfunktion kann dann aus (2.15) berechnet werden.

Offensichtlich weicht bei unvollständiger Information die vom Schädiger ge-wählte Produktionsmenge von der durch b'(x(0)) = 0 bestimmten effizienten Lö-sung in aller Regel ab. Dieser Umstand läßt sich leicht erklären, wenn man (2.16) ökonomisch interpretiert: Erhöht der Schädiger die Produktionsmenge, die er einem

22ßeim Vertauschen der Integrationsreihenfolge ist zu beachten, daß sich die Integrationsgrenzen ändern, da die Untergrenze des inneren Integrals im zweiten Term der ersten Zeile selbst eine Funktion der Integrationsvariable des äußeren Integrals ist (Vgl. Shapiro und Whitney (1967, S.

406 ff.)). Es gilt allgemein

f:~f

g(0,t)dtd0=fJ;_g(9,t)d0dt. Dies wird klar, wenn man sich den Bereich, über den integriert wird, in einem t-0-Diagramm veranschaulicht: Auf der linken Seite der obigen Gleichung wird zuerst über t integriert, wobei die obere Integrationsgrenze durch die Konstante e+, die Untergrenze durch die Funktion t=0 gebildet wird. Das äußere Integral über 0 läuft von e-bis e+. Der gesamte Integrationsbereich ist also durch das schraffierte Dreieck in untenstehender Abbildung gegeben. Wenn man dagegen zuerst über 8 und dann über t integriert, muß das innere Integral von der Untergrenze

a-

bis zur Obergrenze 0=t laufen, damit die Integrati-onsbereiche in beiden Fällen übereinstimmen.

t=e

- - - - -... -8

0 8- 8

Geschädigten vom Typ 8 vorschlägt, um eine marginale Einheit, so erzielt er einer-seits einen Bruttozusatzgewinn in Höhe von b'(x(S)). Dieser Term mißt auch den gesamtwirtschaftlichen Bruttozusatznutzen einer marginalen Erhöhung von x(S).

Andererseits steigen auch die vom Schädiger zu leistenden Transferzahlungen, und zwar in zweifacher Hinsicht: Zum einen muß, was die Zahlung an einen Geschädig-ten vom Typ 8 betrifft, dessen Schadensersatzkomponente 8x(8) um 8 erhöht wer-den, so daß der Schädiger nach Abzug dieser Kosten nur noch einen zusätzlichen Gewinn in Höhe von b'(x(S)) - 8 erzielen kann. Dieser Betrag, der auch den ge-samtwirtschaftlichen Nettonutzenzuwachs widerspiegelt, ist mit der Wahrschein-lichkeitsdichte fl:8) zu gewichten.²³ Darüber hinaus erhöht sich aber auch die Infor-mationsrentenzahlung

fe

e· x(t)dt für jeden Geschädigten, dessen Schadenstyp im Intervall [8",8] liegt, um eine marginale Einheit. Diese Zusatzzahlung ist mit der Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines solchen Typs, also mit F(S), zu gewich-ten. Gleichung (2.16) besagt dann, daß im individuellen Gewinnmaximum die er-wartete Zunahme des Bruttogewinns mit den erer-warteten zusätzlichen Transferzah-lungen übereinstimmen muß.

Damit ist klar, warum der Schädiger im Vergleich zur effizienten Lösung fast immer ein zu niedriges Aktivitätsniveau wählt: Die Notwendigkeit, Informations-enthüllungszahlungen zu leisten, verursacht auf Seiten des Schädigers zusätzliche Kosten, die aus gesamtwirtschaftlicher Sicht irrelevant sind, weil sie lediglich eine Umverteilung der Wohlfahrtsgewinne zugunsten des Geschädigten darstellen. Die asymmetrische Informationsverteilung führt also zu einer Divergenz zwischen den einzel- und gesamtwirtschaftlichen Grenzkosten einer Ausdehnung von x und wird somit zur Ursache für das Versagen privater Verhandlungen über externe Effekte.

Nur für den Fall, daß es sich bei dem Geschädigten um einen s--Typ handelt, setzt sich die effiziente Lösung durch. Der Grund dafür liegt auf der Hand: Bei einer marginalen Erhöhung von x(S-) muß nur die Informationsrente für den s--Typ er-höht werden. Die Wahrscheinlichkeit für dessen Auftreten ist aber F(S-) = 0, so daß nur in diesem Fall, wie sich auch formal aus (2.16) ergibt, das Produktionsniveau paretooptimal ist.

23 Strenggenommen beschreibt diese Argumentation nicht die Effekte einer Erhöhung der Produk-tionsmenge exakt für den 8 - Typ, da die Wahrscheinlichkeit für dessen Auftreten Null ist. Eine Veränderung von x(8) kann somit keine Auswirkungen auf den erwarteten Gewinn des Schädigers haben. Mathematisch korrekt wäre es, von einer marginalen Erhöhung von x im Intervall [8,8+E]

mit E• O zu sprechen (Vgl. Fudenberg und Tirole (1991, S. 265)).

Nun bleibt noch zu klären, unter welchen Bedingungen die bisher vernachläs-sigte Monotonierestriktion wirklich ignoriert werden darf. Dazu formt man (2.16) umzu

(2.16)' b'(x(0)) = 0 + F(0)/f(0).

An dieser Formulierung der Optimalitätsbedingung wird deutlich, daß x(0) wegen b"(x) < 0 nur dann monoton fällt, wenn die rechte Seite monoton zunimmt. Hinrei-chend dafür ist, daß der Quotient F(0)/f(0) monoton zunimmt. Diese Eigenschaft ist glücklicherweise bei den gebräuchlichsten stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilun-gen, wie z.B. Gleich-, Normal-,

x

^2- und Exponentialverteilung erfüllt, so daß es bei konkreten Anwendungen, in denen spezielle Verteilungsannahmen getroffen werden müssen, sinnvoll erscheint, sich auf diese Fälle zu beschränken.²⁴

Im Dokument Zentrale versus dezentrale Internalisierung externer Effekte bei unvollständiger Information (Seite 65-68)