2.3 Feldgetriebene Magnetisierungsdynamik
2.3.2 Dynamik magnetischer Quasiteilchen im Thiele-Modell
Die Thiele-Gleichung [184] ermöglicht eine deutlich vereinfachte Beschreibung der Dyna-mik magnetischer Quasiteilchen wie Vortizes, Antivortizes, Skyrmionen oder Domänen-wände. Sie leitet sich unter der Annahme, dass das betreffende Quasiteilchen seine Form beibehält, unmittelbar aus der Landau-Lifshitz-Gilbert-Gleichung ab [184]. Die Vorausset-zung ist daher, dass ein starres Quasiteilchen vorliegt, das durch das externe Magnetfeld oder auch durch einen Strom lediglich im Raum verschoben, nicht aber verzerrt, wird. In Analogie zur Newtonschen Mechanik verknüpft die Thiele-Gleichung eine Kraft auf ein Quasiteilchen mit einer Bewegungsgleichung [184]:
F~ =−h
Db ·~v+G~ ×~vi
(2.43)
Diese Kraft kann beispielsweise durch ein externes Magnetfeld ausgeübt werden, das die Verschiebung eines Vortex oder einer Domänenwand energetisch begünstigt und damit gemäß F~ = −∇~E eine Kraft auf das entsprechende Quasiteilchen ausübt. Der Ausdruck G~ ×~v ist senkrecht zur Geschwindigkeit~v sowie dem Gyrovektor G~ orientiert und
ent-stammt dem Präzessionsterm der LLG. Die Dissipation wird durchDb·~v ausgedrückt. Mit θ und φ, dem Polar- bzw. dem Azimutwinkel der Magnetisierung, gilt:
G~ := −µ0Ms γ0 ·
Z
V
cos (θ)
∇~θ×∇~φ
dV (2.44)
Db := −µ0Ms
γ0 · Z
V
α·
∇~θ⊗∇~θ+ cos (θ)2·∇~φ⊗∇~φ
dV (2.45)
Der Gyrovektor G~ und der Dissipationstensor Db sind Konstanten, insofern die Annah-me eines starren Quasiteilchens, das sich nicht verformt, erfüllt ist. Die Thiele-Gleichung ermöglicht dann, die Bewegung eines solchen Quasiteilchens mit einfachen Mitteln analy-tisch zu beschreiben.
Im Folgenden soll mit Hilfe der Thiele-Gleichung die Gyration eines magnetischen Vortex betrachtet werden. Ein einzelner Vortex, der in einer quadratischen Struktur eingeschlos-sen ist, stellt ein relativ einfaches System dar und lässt sich entsprechend gut beschreiben.
Dieses System wird daher im Kapitel 5 genutzt, um die Möglichkeiten der TR-SEMPA zu demonstrieren.
Bewegungsgleichung eines einzelnen Vortex
x y
Abbildung 2.5: Auslenkung eines Vortex aus dem Zentrum einer quadratischen Mikrostruktur.
In der Abbildung 2.5 wird die Auslenkung eines Vortex aus der Mitte einer quadratischen Struktur skizziert. Die Pfeile deuten die Orientierung der Magnetisierung in den vier angrenzenden Domänen an (Landau-Struktur). Ein externes Magnetfeld, das in die y-Richtung (nach oben) deutet, ist im statischen Fall mit einer Vortexauslenkung in die negative x-Richtung (nach links) verbunden und minimiert damit die Zeeman-Energie (vgl. Gleichung 2.3).
Für die skizzierte Geometrie lässt sich als Funktion der Schichtdicket, der Kantenlängelund dem Umlaufsinn der Magnetisierungceine Zeeman-Energie von
EZ = µ0MsHexltc
2 ·
l 2 +x
− l
2 −x
(2.46)
=µ0MsHexltcx (2.47)
ableiten. Gemäß F~ = −∇~EZ folgt aus dieser Zeeman-Energie eine treibende Kraft auf den Vortex. Dieser treibenden Kraft wirkt eine Rückstellkraft durch die Streufeldenergie entgegen, die energetisch den Vortex im Zentrum der Mikrostruktur bevorzugt. Für kleine Vortexauslenkungen steigt diese Streufeldenergie quadratisch mit der Auslenkung aus der Gleichgewichtslage an [185–188], sodass ein Streufeldpotenzial der Form
EStreufeld= κ
2 · x2+y2
(2.48) entsteht. Ein solches harmonisches Vortexpotenzial, in dem der Parameter κ eine Feder-konstante darstellt, übt auf den Vortex eine Rückstellkraft aus, die linear zu der Vortex-auslenkung ist. Die Thiele-Gleichung 2.43 liefert mit der Kraft F~ =−∇~ (EStreufeld+EZ) daher eine lineare Differentialgleichung, die sich mittels eines Fourier-Ansatzes lösen lässt [189]:
κ
x y 0
+µ0MsHexltc
1 0 0
=Db·
˙ x
˙ y
˙ z
+G~ ×
˙ x
˙ y
˙ z
(2.49) Um die Vortexbewegung mit dieser Gleichung beschreiben zu können, müssen der Gyro-vektorG~ und der DissipationstensorDb bestimmt werden. Der Gyrovektor (siehe Gleichung 2.44) eines Quasiteilchens hängt nicht von der genauen Verteilung der Magnetisierung in einem Volumen V ab, sondern ist letztlich eine topologische Eigenschaft. Betrachtet werden in dieser Arbeit ausschließlich dünne magnetische Schichten, in denen die Magne-tisierung nicht in der z-Richtung variiert. Damit entfällt bereits die z-Komponente von
∇~θ und ∇~φ in Gleichungen 2.44, sodass
∇~θ×∇~φ= ∂θ
∂x
∂φ
∂y − ∂θ
∂y
∂φ
∂x
~
ez (2.50)
gilt. Der Ausdruck in der Klammer ist per Definition die Determinante der Jacobimatrix in der Koordinatentransformation x, y 7→θ, φ. Aus der Gleichung 2.44 folgt daher:
G~ =−µ0Mst γG ~ez
Z π φ=−π
Z p·π/2
θ=0
cos (θ)dθdφ (2.51)
=−2πµ0Mst
γG ·p·~ez (2.52)
=−p·G0·~ez (2.53)
Der Gyrovektor hat damit den BetragG0 = 2πµ0Mst/γ0 und zeigt abhängig von der Vor-texpolarität p in die positive oder negative z-Richtung. Der Präzessionsterm der Thiele-Gleichung sorgt folglich für das Kreisen eines Vortex in der Filmebene. Ersichtlich ist,
das die Polarität p = ±1 das Vorzeichen und damit den Rotationssinn dieser Gyration bestimmt. G0 hängt lediglich von der Schichtdicke t eines magnetischen Films sowie der Sättigungsmagnetisierung Ms ab, da die genaue Struktur des Vortex für die Berechnung vonG~ nicht relevant ist. Anders ist dies jedoch für die Berechnung des Dissipationstensors Db. Aus der Gleichung 2.45 lässt sich ableiten, dass die Matrix Db diagonal mit Dxx = Dyy := D0 und Dzz = 0sein muss [189, 190]. An Hand der Gleichung 2.45 ist ersichtlich, dass D0 rein positiv ist und jeglicher Gradient in der Magnetisierung den Wert von D0 weiter erhöht. D0 kann über eine analytische Näherung [189] oder alternativ numerisch [191] berechnet werden. Setzt man den Gyrovektor G~ und den Dissipationstensor Db in Gleichung 2.49 ein, so folgt die lineare Bewegungsgleichung:
κ x y
!
+µ0MsHexltc 1 0
!
=D0 x˙
˙ y
!
−pG0 −y˙
˙ x
!
(2.54) Diese lineare Differentialgleichung kann über ein Fourier-Ansatz gelöst werden [189, 192].
Mit dem reduzierten Feld He = Hγ2π0lc, der Eigenfrequenz ω := (−pG0κ)/(G20+D20α2) und der Dämpfungskonstanten Γ :=−(D0ακ)/(G20+D20α2)folgt die allgemeine Lösung [189]:
x y
!
=A i p
!
e−Γt+iωt+B −i p
!
e−Γt−iωt− He ·eiΩt ω2 + (iΩ + Γ)2
ω+iΩ·Γω
−iΩp
!
(2.55) Die ersten beiden Terme werden durch die Anfangsbedingungen bestimmt, wobei A und B freie Parameter darstellen. Der hintere Term beschreibt die Vortexbewegung, die ein externes Magnetfeld der Form H(t) =~ H~ ·eiΩt bewirkt. Da jede beliebige Anregung H(t)~ sich in Fourierkomponenten dieser Form zerlegen lässt, ist diese Lösung allgemeingültig.
In der vorliegenden Arbeit erfolgt ausschließlich eine harmonische Anregung, sodass die-ser hintere Summand der Gleichung 2.55 bereits die zu erwartende Vortexbewegung be-schreibt. Der Betrag des Nenners (ω2+ (iΩ + Γ)2) ist minimal und damit die Amplitude der Vortexgyration maximal, wenn die Anregungsfrequenz Ω mit der Eigenfrequenz des Systems ω übereinstimmt. Insbesondere sind dann die Amplituden der Vortexbewegung in x- und y-Richtung gleich groß, da allgemein Γ<< ω gilt und der Ausdruck Ω·Γω damit vernachlässigbar ist. Wie Lee und Kim [187] herausstellen, erhält man das Amplituden-verhältnis
Ax
Ay = ω
−iΩp, (2.56)
das sich direkt mit Γ << ω aus der Gleichung 2.55 ergibt. Eine Anregung mit der Re-sonanzfrequenz (Ω = ω) sorgt für im Betrag gleichgroße Amplituden, zwischen denen sich eine komplexe Phase von ip = e±iπ/2 befindet. Diese komplexe Phase besteht auch weiterhin, wenn nicht bei der Eigenfrequenz ω angeregt wird, und resultiert darin, dass der Vortex auf einer Ellipsenbahn verläuft mit den x- und y-Richtungen als Halbachsen.
Das Verhältnis der Halbachsen spiegelt gemäß Gleichung 2.56 das Verhältnis der Anre-gungsfrequenz Ω zu der Eigenfrequenz ω wieder und bietet damit die Möglichkeit die Resonanzfrequenz des Systems aus experimentell zugänglichen Parametern zu bestim-men. Im statischen Grenzfall (Ω→0) geht die Auslenkung in der y-Richtung gegen Null, sodass der Vortex ausschließlich in der x-Richtung ausgelenkt wird, so wie es statisch zu erwarten ist.
Bewegungsgleichung eines Antivortex
Die Bewegungsgleichung eines Antivortex lässt sich analog zu der Dynamik eines Vortex über die Thiele-Gleichung formulieren. Selbstverständlich gelingt es nicht einen einzelnen Antivortex aufgrund des Rotationssinns seiner Magnetisierung wie einen Vortex in einer quadratischen Struktur einzuschließen. Doch in einem angepassten Strukturdesign können auch einzelne Antivortizes systematisch erzeugt und untersucht werden [193]. Wie zuvor die Vortizes befinden sich dann auch die einzelnen Antivortizes in einem harmonischen Potential, das vorwiegend aus der Streufeldenergie ausgebildet wird.
Krüger et al. [192] stellen fest, dass auch der Dissipationstensor DbAV eines Antivortex diagonal mitDxx =DyyundDzz = 0sein muss. Ferner erhalten sie in einer vergleichbaren Rechnung wie für den Vortex den Gyrovektor
G~AV = 2πMsµ0tp
γG ~ez =p·G0·~ez. (2.57) Der Vergleich mit Gleichung 2.53 zeigt, dass dieser Gyrovektor den gleichen Betrag wie der Gyrovektor eines Vortex hat und bei gleicher Polarität in die entgegengesetzte Richtung deutet.
Besonders spannend ist damit die Frage wie Vortizes und Anivortizes sich gemeinsam in einer Struktur verhalten. Betrachtet man einen V und einen AV gemeinsam als ein Qua-siteilchen, so sind sie bei gleicher Polarität p topologisch äquivalent zu einer kollinearen
Magnetisierung und entsprechend verschwindet der Gyrovektor (p·G0−p·G0 = 0). Be-sitzen AV und V die Polaritäten von pund −p, so sind sie entsprechend der Definition in Gleichung 2.35 gemeinsam ein Skyrmion, dass dann einen Gyrovektor vonG~Sky = 2pG0·~ez aufweist. Es ist nicht davon auszugehen, dass V und AV im Allgemeinen fest aneinan-der gebunden sind und sich als ein gemeinsames Quasiteilchen betrachten lassen. Ihre Kopplung aneinander wird in dem Kapitel 5 genauer betrachtet und mit zeitaufgelösten SEMPA-Messungen sowie numerischen Simulation untersucht. Das anschließende Kapitel 3 soll zunächst jedoch die experimentellen Grundlagen der SEMPA-Technik schaffen.
Polarisationsanalyse
Der Bedarf an elektronischen Speichermedien mit schnellen Zugriffszeiten und hohen Spei-cherdichten hat in den letzten Jahrzehnten die Entwicklung magnetischer Abbildungstech-niken vorangetriebenen. Heutzutage lässt sich in Folge dessen auf eine Vielzahl verschie-dener Techniken zurückgreifen, die es erlauben den Mikro- oder Nanomagnetismus auf unterschiedlichen Zeitskalen zu untersuchen und zu verstehen.
Im Folgenden soll die in dieser Arbeit vorwiegend genutzte Technik, die Rasterelektro-nenmikroskopie mit Polarisationsanalyse (SEMPA) [194–198], vorgestellt werden. Vorab wird allgemein auf die Grundlagen der SEMPA eingegangen und im Anschluss daran wird der konkrete Aufbau dieser Technik diskutiert. Zu den Grundlagen zählt zunächst die Funktionsweise der SEMPA (Abschnitt 3.1). Die SEMPA-Technik ermöglicht über die Detektion des Sekundärelektronenspins die lokale Magnetisierung einer Probe als ei-ne Art vektorielle Karte aufzuzeichei-nen. Ein zentraler Aspekt der SEMPA liegt in der Wechselwirkung eines Elektronenstrahls mit Materie, daher wird diese Wechselwirkung anschließend vertieft diskutiert (Abschnitt 3.2). Neben der Emission von Sekundärelek-tronen sowie deren Spinpolarisation wird ferner auch auf AugerelekSekundärelek-tronen und elastisch gestreute LEED-Elektronen eingegangen, die beide für die Charakterisierung einer Ober-fläche von Bedeutung sind. Die Niedrigenergie-Elektronenbeugung (LEED) bildet dabei auch gleichzeitig das Fundament für die Detektion des Sekundärelektronenspins in dem verwendeten SEMPA-System [196, 197, 199, 200].
Basierend auf diesen Grundlagen wird im Abschnitt 3.3 der Aufbau des Experimentes diskutiert. Der Schwerpunkt liegt auf der Detektion des Sekundärelektronenspins mit-tels LEED und des verwendeten SEMPA-Aufbaus. Außerdem wird auf die bestehenden Möglichkeiten für die Charakterisierung ultradünner Schichten mittels LEED, Augerelek-tronenspektroskopie (AES) und energiedispersiver Röntgenspektroskopie (EDX) einge-gangen, die insbesondere für das Kapitel 6, Magnetismus ultradünner Co-Schichten auf
Ir(111) und Pt(111), von Bedeutung sind. Anschließend wird ausgeführt inwieweit mit dem vorhandenen Aufbau auch die Abbildung der senkrechten Magnetisierungskompo-nente möglich ist und in welchem Maß die SEMPA auch die Magnetisierung in ex situ hergestellten Schichtsystemen abbilden kann. Durch das Herausarbeiten der Vor- und Nachteile der SEMPA im Vergleich zu anderen magnetischen Abbildungstechniken wird das Kapitel dann abgeschlossen.
3.1 Einführung in das Funktionsprinzip
SEM-Säule
W(001) Spindetektor
Probe
Abbildung 3.1: Schematische Darstellung der SEMPA-Technik mit einem LEED-Detektor.
In der Abbildung 3.1 wird der in dieser Ar-beit verwendete SEMPA-Aufbau, der auf ei-nem LEED-Detektor beruht, skizziert darge-stellt. Ein fokussierter Primärelektronenstrahl, in cyan dargestellt, tastet wie in einem Raster-elektronenmikroskop (SEM) üblich eine Probe pixelweise ab. Während dieses Rasterns wer-den Sekundärelektronen aus dem Probenma-terial gelöst, deren Spinpolarisation proportio-nal zu der lokalen Magnetisierung ist. Da die Ladung eines Elektrons per Definition negativ
ist, besitzen Spinorientierung und magnetisches Moment eines Elektrons verschiedene Vor-zeichen. Da sie jedoch proportional zueinander sind, bietet die in einem SEMPA-System detektierte Spinpolarisation von Sekundärelektronen ein direktes Maß für die Magnetisie-rung einer Probe. Weltweit finden dabei drei unterschiedliche Detektorkonzepte Anwen-dung, die auf der Mott-Streuung [194], der Niedrigenergie-Elektronenbeugung (LEED) [196, 197] und der niederenergetischen diffusen Streuung (LEDS) [195, 201] basieren. Alle drei Konzepte besitzen eine vergleichsweise niedrige Effizienz von 2,3·10−4 oder weniger [200, 201], sodass die SEMPA zumindest im Vergleich zum SEM eine langsame Technik ist.
Detektoren, die die Spinpolarisation von Elektronen in einem schmalen Energiefenster mit einer deutlich höheren Effizienz registrieren können, existieren [202–207], jedoch wiegt der
Vorteil einer höheren Effizienz in der SEMPA-Anwendung die Verluste durch eine schma-le Energieakzeptanz nicht auf [200]. Solche Detektoren, die die Austauschwechselwirkung nutzen, bleiben daher auf Experimente mit einer schmaleren Energieverteilung (z.B. der Photoelektronenspektroskopie [206]) beschränkt. Des Weiteren bieten die drei etablierten SEMPA-Detektoren stets die Möglichkeit zwei Komponenten der Magnetisierung gleich-zeitig und unabhängig zu einem Topographiebild aufzuzeichnen. Ein auf der Austausch-wechselwirkung beruhender Detektor benötigt bereits für die Trennung magnetischer und struktureller Informationen zwei aufeinanderfolgende Messungen pro magnetischer Kom-ponente [207].
Im Folgenden soll zunächst die Wechselwirkung eines Elektronenstrahls mit Materie dis-kutiert werden. Für die vorliegende Arbeit ist dabei die Emission von Sekundärelektronen sowie deren Spinpolarisation von besonderem Interesse. Anschließend kann in Kapitel 3.3 der experimentelle Aufbau sowie die Detektion des Sekundärelektronenspins diskutiert werden. Die Ausführungen beschränken sich dabei auf das hier verwendete Konzept der Detektion mittels LEED-Streuung an einem W(001)-Einkristall.